1)Montrer que la r´esolvante de l’´equation diff´erentiellez′(t) =BA(t)B−1z(t) est S(t, t0) =BR(t, t0)B−1

Universit´e P. et M. Curie Sylvie Delabri`ere Licence de Math´ematique Equations diff´erentielles Ann´ee 2005-2006 M´ethodes de r´esolution num´erique LM 383 Examen du 7 Septembre 2006

(sans document ni calculette)

(Les probl`emes I, II et III sont ind´ependants) I

On consid`ere l’´equation diff´erentielle dans R<sup>m</sup>, y<sup>′</sup>(t) =A(t)y(t) o`ut →A(t) est une application continue de [0,+∞[ dans l’espace des matrices carr´ees m×m. SoitR(t, t0) la r´esolvante de cette ´equation etBune matrice inversible.

1)Montrer que la r´esolvante de l’´equation diff´erentiellez^′(t) =BA(t)B⁻¹z(t) est S(t, t₀) =BR(t, t₀)B⁻¹.

2) On choisit

A(t) =





t− ¹₃ 0 −¹₃

0 t−1 0

−²₃ 0 t− ²₃





Montrer que A(t) poss`ede une base de vecteurs propres ind´ependante de t.

3)Montrer que les matrices A(t) etA(s) commutent pour toutt, s∈[0,+∞[

et en d´eduire la r´esolvante R(t, t0) de l’´equation y^′(t) =A(t)y(t).

4)En utilisant les questions pr´ec´edentes avec la matriceB =





1 0 2 2 0 1 3 1 0



,

r´esoudre l’´equation diff´erentielle dans R³, en fonction des donn´ees initiales z1(t0) =α, z2(t0) =β, z3(t0) =γ :

z^′₁(t) = (t− ⁵₉)z1(t)− ⁵₉z2(t) z^′₂(t) =−⁴₉z1(t) + (t− ⁴₉)z2(t)

z^′₃(t) =−⁴₃z₁(t) + ⁵₃z₂(t) + (t−1)z3(t) II

Soit f une fonction continue de [t0, t0 +T]×R dans R, Lipschitzienne par rapport `a x uniform´ement ent avec constante L, c’est `a dire :

|f(t, x)−f(t, x^⋆)| ≤L|x−x^⋆| ,∀t∈[t0, t0+T] , ∀x, x^⋆ ∈R On consid`ere l’´equation diff´erentielle :

(ED)y^′(t) =f

t, y(t)

, y(t0) =y₀ 1

1)Sif est une fonctionpfois continˆument d´erivable, on d´efinit par r´ecurrence les fonctions f^[k](t, x) pour 0≤k≤p par :

f^[0](t, x) =f(t, x), ..., f^[k+1](t, x) = ∂

∂tf^[k](t, x) + ∂

∂xf^[k](t, x)f(t, x) Montrer que la solution y(t) de (ED) appartient `a C^p+1

[t0, t0 + T] et v´erifie :

y^(k+1)(t) = f^[k](t, y(t)) , 0≤k ≤p

On consid`ere le sch´ema num´erique `a un pas : y_n+1=yn+hF(tn, yn, h) avec F(t, x, h) =f(t, x) +haf^[1](t, x) +h²bf^[2]

t+αh, x+βhf(t, x) o`u α, β, a, bsont des param`etres `a d´eterminer.

2) On suppose que f^[1] et f^[2] sont aussi Lipschitzienne par rapport `a x uniform´ement en t avec constante L1 etL2 respectivement. D´emontrer qu’il existe une constante Λ >0, ind´ependante de htelle que

|F(t, x, h)−F(t, x^⋆, h)| ≤Λ|x−x^⋆| ,∀t∈[t0, t₀+T] , ∀x, x^⋆ ∈R 3) a) En supposant p ≥ 4, v´erifier que si y(t) est solution de (ED), quand h→0 :

1

h(y(t+h)−y(t))

=f(t, y(t)) + h

2f^[1](t, y(t)) + h²

6 f^[2](t, y(t)) + h³

24f^[3](t, y(t)) +O(h⁴) b) Faire un d´eveloppement limit´e d’ordre 3 de la fonction h→F(t, x, h) au voisinage de h= 0.

c) D´eterminer les coefficients α, β, a, b de mani`ere que la m´ethode `a un pas d´efinie par la fonction F(t, x, h) soit d’ordre 4.

III Soit l’´equation diff´erentielle d’ordre 3 :

(E) ϕ^′′′(t)− ϕ^′′(t)

2 − ϕ^′(t)

4 + ϕ(t)

8 =f(t) o`u f est une fonction continue de R dans R.

1)Mettre (E) sous forme d’une ´equation diff´erentielle du premier ordre dans R³ : (S) :y^′(t) =Ay(t) +F(t), en pr´ecisant la matrice A.

2

2) Trouver la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre, (E0), associ´ee `a (E).

3) En d´eduire la r´esolvante R(t, t0), de l’´equation diff´erentielle (S).

4) Ecrire la solution de (S) avec la condition initiale y(t0) =



 y0

y1

y₂



 puis en d´eduire celle de (E) avec la condition initiale correspondante.

5) D´eduire e^A des questions pr´ec´edentes.

3