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L'idée est de montrer qu'il existe un t0 ∈ R tel que U +t0V ∈ GLn(R)

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Academic year: 2022

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(1)

Correction de l'exercice 9 de la feuille de TD4.

Soient A et B deux matrices à coecients réels. Elles sont supposées être semblables dans C donc il existe P ∈GLn(C) tel que

A=P−1BP.

Posons alors P =U +iV avecU, V ∈P ∈Mn(R).

CommeAetB sont réelles on obtient immédiatement les deux égalitésU A= BU et V A=BV.

On serait tenté d'essayer de montrer que U ∈GLn(R) ouV ∈GLn(R). Or un examen de quelques exemples montre qu'il n'en est rien.

Cependant on sait que U + iV est inversible dans Mn(C). L'idée est de montrer qu'il existe un t0 ∈ R tel que U +t0V ∈ GLn(R). Pour cela on étudie l'application

φ: C → C

z 7→ det(U +zV)

φ est une application polynomiale non nulle puisqueφ(i)6= 0 donc elle a un nombre ni de racines. Par ailleurs R⊂C est inni donc il existe t0 ∈R tel que φ(t0)6= 0.

On vérie que

A= (U +t0V)−1B(U +t0V).

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Références

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[r]

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[r]

1 Montrer que T0 est une tribu sur R

Nota bene : il sera tenu grand compte de la clarté de la rédaction.

Un R.P.M. qu'est-ce que c'est?

Ceci est d'autant plus important que, souvent, les enfants qui me sont proposés ont établi une mauvaise relation avec leur corps du fait d'une histoire

dydx dydx P R R P u u u u v u u u f f a r " r " " r " ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

◊ remarque : il est possible d'améliorer encore plus la précision en poussant le calcul aux ordres suivants (méthode de Runge-Kutta) ; pour les intégrales du second ordre, il

() # # Sx 4x 12 & & yx xx () " S 1r. " " fr " r r " r " S # # # & & & ' ru " r u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u " " " OM " " " " r r r fr x + y y y y y x x x x % % ( ( % % % & ( ( ( ) $ ' " x " " " r x r "#$ " y " r y $ $ $ % ' ' ' ( + + y y y $ '

◊ remarque : en traçant plusieurs courbes “iso-surfaciques”, on peut aussi préciser que la “mesure algébrique” du gradient est d'autant plus grande que ces

U U U U R BC AB CD AD 1 U AD R R R R R + + R R + + R R 1 1 2 1 3 2 2 3 3 ! ! ! ! !

• Dans la mesure où la tension est la même aux bornes de toutes les branches de l'assemblage, l'addition des courants ne dépend pas de l'ordre des compo- sants du modèle. ◊

du du u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u a u u u OH OM v OM v r " r r r r r r r r r r " z x y " " x y " z z " z " z d d " " ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

☞ remarque : de façon générale, la dérivée d'un vecteur unitaire par rapport à un angle de rotation est le produit vectoriel du vecteur unitaire de l'axe de