Exercice 1. Montrer que : (1) lim n→∞ R n

Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Analyse-Probabilit´ es

Pr´ eparation ` a l’agr´ egation

Ann´ ee 2020-2021 Fiche n

1. Int´ egration et analyse complexe.

Exercice 1. Montrer que : (1) lim _n→∞ R n

0 1 − ^x _n n

x ^m dx = m!, pour tout m ∈ N.

(2) lim n→∞ R n

0 1 + ^x _n n

e ^−2x dx = 1.

Exercice 2. Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de C. Montrer que les condi- tions suivantes sont ´ equivalentes.

(i) f est constante ; (ii) Re(f ) est constante ; (iii) Im(f ) est constante ; (iv) |f | est constante.

Exercice 3. D´ emontrer que l’ensemble des z´ eros d’une fonction analytique non nulle sur un ouvert connexe est ferm´ e et discret (principe des z´ eros isol´ es).

Exercice 4. On consid` ere la fonction Log d´ efinie pour |z − 1| < 1 par Log(z) = −

∞

X

k=1

(1 − z) ^k

k .

(1) Montrer que, pour |z − 1| ≤ ¹ ₂ , on a |Log(z)| ≤ ln

1 1−|z−1|

≤ 2|z − 1|.

(2) V´ erifier que, pour |z − 1| < 1, on a _dz ^d Log(z) = ¹ _z et e ^Log(z) = z.

Exercice 5. Soit g une fonction holomorphe sur C telle que :

∀z ∈ C, |g(z)| ≤ e −|Re(z)|+|Im(z)| . (1) Montrer que h : x 7→ R ∞

−∞ g(t)e ^itx dt est bien d´ efinie et est C ^∞ sur R.

(2) Montrer que pour tous x, y ∈ R, on a h(x) = e ^−xy R ∞

−∞ g(t + iy)e ^itx dt (indication : consid´ erer la fonction d´ efinie par f (z) = g(z)e ^ixz et int´ egrer le long du rectangle de som- mets −R, R, R + iy, −R + iy, avec R → ∞).

(3) En d´ eduire que h est ` a support compact et que son support est contenu dans [−1, 1].

Exercice 6. On d´ efinit la fonction Γ sur le demi-plan P = {z ∈ C : Re(z) > 0} par Γ(z) =

Z ∞

0

e ^−t t ^z−1 dt.

(1) Montrer que Γ est holomorphe sur P .

(2) Le but de cette question est de montrer que la fonction Γ se prolonge sur C \ Z ₋ , o` u Z ₋ = {−n, n ∈ N}, en une fonction holomorphe, sans z´ ero, et admettant des pˆ oles simples en les −n, n ∈ N.

1

(a) Montrer que pour tout z ∈ P, on a Γ(z) =

∞

X

n=0

(−1) ⁿ n!(z + n) +

Z ∞

1

t ^z−1 e ^−t dt.

(b) Montrer que l’application f : z 7→ P ∞ n=0

(−1)

n!(z+n) est m´ eromorphe sur C et que ses pˆ oles sont les entiers n´ egatifs ou nuls et sont simples.

(c) Conclure.

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