1[ n’est pas complet Montrer que [0

Universit´e Lille I L3 Maths

2011-2012 M-52

4 - ESPACES METRIQUES COMPLETS

Quizz

Exercice 1 –Q n’est pas complet

Montrer queQn’est pas ferm´e dansR. Est-il complet ?

Exercice 2 – [0; 1[ n’est pas complet

Montrer que [0; 1[ n’est pas complet de trois fa¸cons diff´erentes : - avec la d´efinition ;

- en utilisant que [0; 1[ n’est pas ferm´e dansR; - en consid´erant l’applicationx7→ ^x+1₂ .

Pour s’entraˆıner

Exercice 3 – Suites de Cauchy

D´ecider si les suites (un)n suivantes sont de Cauchy : 1. un= (−1)ⁿ dans (R,|.|) ;

2. un=

1 sin(1/n)

cos(1/n) 1

dans (M2(R), N∞) ;

3. un:t7→

t−n+¹₂ sin−¹₂ ≤t < n

−t+n+¹₂ sin≤t < n+¹₂ 0 sinon

dans (C(R⁺,R), N_∞).

Exercice 4 – La compl´etude est une notion m´etrique

a) Montrer que (R⁺,|.|) est complet et quef :x7→ _1−x^x est un hom´eomorphisme de [0; 1[ sur R⁺. b) V´erifier que la suite (u_n), avec u_n = 1−_n¹, est de Cauchy mais ne converge pas dans [0; 1[. La suite

(f(u_n)) est-elle de Cauchy dansR⁺?

Exercice 5

Etudier si les applications suivantesf :A→F admettent un prolongement continu ˜f :E→F : a) E=F =R, A=R^∗, f :x7→1/x ; b) E=R, F =Q, A=Q, f :x7→x Cela contredit-il le th´eor`eme de prolongement des applications uniform´ement continues ?

Exercice 6

SoitE l’ensemble des fonctions lipschitziennes de [0; 1] dansR. Pourf ∈E, on pose

N(f) = sup

x∈[0;1]

|f(x)|+ sup

x6=y

|f(x)−f(y)|

|x−y|

Montrer queN est une norme surE, pour laquelleE est complet.

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Exercice 7 – Spectre d’un op´erateur

SoitE un espace de Banach etu∈ Lc(E). Lespectre deuest l’ensemble

σ(u) ={λ∈R/ u−λid_E n⁰est pas bijective de E dansE}

a) Comment appelle-t-on les ´el´ements de σ(u) lorsqueE est de dimension finie ?

b) Soit λ∈ R^∗. V´erifier que y = (u−λidE)(x)⇐⇒ x= ¹_λ(u(x)−y). En d´eduire queλ∈ ^cσ(u) si et seulement si pour touty, l’applicationfy:x7→ ¹_λ(u(x)−y) a un unique point fixe dans E.

c) Montrer queσ(u)⊂[−kuk_op;kuk_op].

Les essentiels Exercice 8

Soit E et F des evn, on suppose que F est complet. Montrer que (L_c(E, F),k.k_op) est un espace de Banach.

Exercice 9 – Espaces de suites

On note`<sup>∞</sup> l’ensemble des suites born´ees,`² l’ensemble des suites de carr´e sommable,N l’ensemble des suites presque nulles, etc0 l’ensemble des suites qui tendent vers 0.

a) V´erifier queN ⊂`<sup>2</sup>⊂c0⊂`^∞.

b) Montrer que (`^∞, N_∞) est un espace de Banach.

c) Quelle est l’adh´erence de`<sup>2</sup>dans (`^∞, N_∞) (utiliser l’exercice 13 de la feuille 2) ? d) Montrer que (c0, N_∞) est un espace de Banach.

Exercice 10

Soit a∈ R et λ ∈ Cavec |λ| <1. Montrer que, pour toute fonction born´ee g ∈ C(R,C), il existe une unique fonction born´eef ∈ C(R,C) telle que∀x∈R, f(x)−λf(x+a) =g(x).

Pour aller plus loin Exercice 11

Soit (a_n)_n une suite de Cauchy dans un espace m´etrique (E, d).

a) Montrer que pour toutx∈E, la suite (d(x, an))n converge dansR. On notef(x) sa limite.

b) Montrer quef :E→Rest 1-lipschitzienne, positive, et que inff = 0. A quelle condition sur (a_n) la fonctionf atteint-elle son inf ?

c) En d´eduire que si (E, d) n’est pas complet, alors il existe une fonctiong:E→Rnon born´ee.

Exercice 12 – Compl´etude au sens de Cantor

Soit (E, d) un espace m´etrique. On dit qu’il est complet au sens de Cantor lorsque pour toute suite d´ecroissante (F_n) de ferm´es non vides dont le diam`etre tend vers 0, l’intersection ∩nF<sub>n</sub> est r´eduite `a un singleton.

a) Montrer que siE est complet, alors il est complet au sens de Cantor.

b) R´eciproquement, montrer que siEest complet au sens de Cantor, alors il est complet (pour une suite de Cauchy (x_n)_n, consid´ererF_n={x_p/ p≥n}).

c) V´erifier que l’hypoth`ese sur les diam`etres est indispensable (par exemple avecE=R,Fn= [n; +∞[).

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