Montrer que X est complet

ENS Lyon Syst`emes Dynamiques

M1 2007-2008

TD 0 : R´evisions

Exercice 1

D´eterminer les solutions maximales de x⁰ =x². Exercice 2

R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes avec la condition y(0) =y⁰(0) = 0 : y⁰⁰−5y⁰ + 6y= e^t

ch²t ; y⁰⁰+ω²y= 1

6ω²cos³(ωt).

Exercice 3

Soit X le champ de vecteurs sur R² donn´e par X(x, y) = (sin²x,−cosx). Montrer que X est complet. D´ecrire et dessiner les orbites du flot (introduire la fonction f(x, y) =y−_sin¹_x).

Exercice 4

Consid´erons les syst`emes diff´erentiels suivants : (S₁)

x⁰ =y

y⁰ =−x ; (S₂)

x⁰ = 2y y⁰ =−2x .

Existe-t-il un hom´eomorphisme deR²´echangeant les solutions (resp. les trajectoires) de (S₁) et de (S₂) ?

Exercice 5

On consid`ere l’´equation diff´erentielle X<sup>0</sup> = AX, o`u X est `a valeurs dans R² et A∈ GL₂(R). Dessiner le portrait de phase de cette ´equation en fonction du spectre deA.

Exercice 6

Pour chacun des deux syst`emes diff´erentiels suivants, montrer que l’origine est un point critique non d´eg´en´er´e. Etudier sa nature pour le syst`eme et pour le syst`eme lin´eaire associ´e :

(S₁)

x⁰ =−y−x(x²+y²)

y⁰ =x−y(x² +y²) ; (S₂)

( x⁰ =−x− _ln(x^2y2+y²)

y⁰ =−y+_ln(x^2x2+y²)

.

Exercice 7

Soit a, b, c, d >0 et x0, y0 >0. On consid`ere le syst`eme de Lotka-Volterra : x⁰ =ax−bxy

y⁰ =−cy+dxy

avec la condition initiale (x(t₀), y(t₀)) = (x₀, y₀). Montrer que : 1. la trajectoire reste dans le quadrant {x >0, y >0}; 2. la solution est d´efinie sur R entier ;

3. la trajectoire “tourne” dans le sens trigonom´etrique ; 4. la solution est p´eriodique.

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