Montrer que (0,0) est l’unique point critique de fa

USTL Math 202 B PC S3 El´ements de calcul diff´erentiel

Examen du 22 F´evrier 2010 Dur´ee : 2h

Documents, calculatrices et t´el´ephones interdits

Exercice I.

Soitaun nombre r´eel tel que a∈R\ {−1,1}.

On consid`ere la fonctionf_a d´efinie sur R² parf_a(x, y) =x²+y²+ 2axy.

1. Indiquer le domaine de d´efinition D_a de f_a.

2. Tracer l’allure des traces du graphe de f_a sur les plans d’´equation x = 0 et x =y (discuter suivant les valeurs dea).

3. Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 et 2 de f_a surD_a.

4. D´eterminer l’´equation du plan tangent au graphe de f_a en le point (1,0,1).

5. Montrer que (0,0) est l’unique point critique de f_a.

6. Discuter, suivant les valeurs de a, la nature de ce point critique.

Exercice II.

On consid`ere la fonctionf d´efinie surR² par : f(x, y) = x⁴sin(_x2+y^{1 2})

x²+y² et f(0,0) = 0.

1. Cette fonction est-elle continue en (0,0) ?

2. Cette fonction poss`ede-t-elle des d´eriv´ees partielles premi`eres en (0,0) ? 3. Cette fonction est-elle diff´erentiable en (0,0) ?

4. Cette fonction est-elle de classe C¹ en (0,0) ?

Exercice III.

Le but de cet exercice est de calculer, `a l’aide du changement de variables (x= ^u_v, y =v), l’ int´egraleI₁ =

ZZ

D

(y√

xy) dxdy, o`uD={(x, y)∈R² : 1≤xy ≤4 ; x≤y≤4x }.

1. Repr´esenter le domaine d’int´egration D.

2. Montrer que la fonction d´efinie par φ(u, v) = (^u_v, v) r´ealise un C¹-diff´eomorphisme de

∆ ={(u, v)∈R²: 1≤u≤4 ; √

u≤v≤2.√

u} surD; indiquer son application r´eciproque (u, v) =φ⁻¹(x, y), sa jacobienne et montrer que son d´eterminant jacobien est ¹_v.

3. A l’aide du changement de variables (x= ^u_v, y =v), montrer queI1 = ZZ

∆

√u dudv.

4. Calculer I₁.