Int ´egration

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Int ´egration

C H A P I T R E

D´eterminer l’aire d’une zone S d´elimit´ee par une courbe est un probl`eme qui nous am`ene `a nous demander ce que repr´esente le concept d’aire. Quelle est par exemple la surface occup´ee par cette tˆache de sang ?

Dans le plan muni d’un rep`ere orthogonal, on appelle unit´e d’aire, que l’on note u.a., l’aire du rectangleOIKJ o`u −→

OI =−→ı, −→

OJ =−→ et

−−→OK=−→ı +−→

I K J

~i

~j u.a.

x y

O D´efinition 1

Le domaine D :soit une fonction d´efinie et ¸cpositive sur un intervalle [a;b].

La courbe repr´esentative Cf est au-dessus de l’axe des abscisses. L’ensemble D est constitu´e des points M(x, y) du plan tels que

a6x6b et 06y6f(x)

c’est-`a-dire l’ensemble des points du plan qui se trouvent entre la courbe C et l’axe des abscisses.

C_f

D

a b x

y

O

Remarques.

• aetb sont les bornes d’int´egration.

• x est la variable d’int´egration, elle est dite muette, d’autres lettres peuvent ˆetre utilis´ees.

• Z a

a

f(x)dx= 0 dans ce cas, l’aire du domaine est nulle.

• Pour toute fonction continue positive Z b

a

f(x)dxest un nombre r´eel positif ou nul.

Exemple.

Soit f la fonction affine d´efinie sur R par

f(x) =1 2x+ 2 Z 6

2

f(x)dxest l’aire du trap`ezeABCD soit :

Z 6

2

f(x)dx= AD + BC

2 ×AB

Z 6

2

f(x)dx= 3 + 5

2 ×4 = 16 u.a.

Relation de Chasles

Pour tous r´eels a,b etc tels que a6b6c on a :

Z c

a

f(x)dx= Z b

a

f(x)dx+

Z c

b

f(x)dx

y=f(x)

a b c x

y

O

Propri´et´e 1

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Soit f une fonction continue et positive d´efinie sur l’intervalle [a;b] et x un nombre r´eel quelconque de cet intervalle. L’int´egrale

Z x

a

f(t)dtest l’aire de la partie colori´ee en bleue qui d´epend dex.

y=f(x)

a x b x

y

O

Sif est une fonction continue et positive sur l’intervalle [a;b], la fonctionF d´efinie sur [a;b] par

F(x) = Z x

a

f(t)dt est d´erivable sur [a;b] et sa fonction est la fonctionf. Th´eor`eme 1

D´emonstration.On admet le th´eor`eme dans le cas g´en´eral on d´emontre le th´eor`eme uniquement dans la cas d’une fonctionf croissante.

Pourxfix´e dans l’intervalle [a;b] on calcule le taux de variationF(x+h)−F(x)

h avec

h6= 0 etx+h∈[a;b]

•Cas h >0

F(x+h) = Z x+h

a

f(t)dt est l’aire entre l’axe des abscisses et la courbe Cf sur l’intervalle [a;x+h].

F(x) = Z x

a

f(t)dt est l’aire entre l’axe des abscisses et la courbeCf sur l’intervalle [a;x].

La diff´erence entre F(x + h) − F(x) = Z x+h

x

f(t)dtcorrespond `a l’aire l’axe des abs- cisses et la courbeCf sur l’intervalle [x;x+h].

A₁ A₂

x x+h

a b x

y

La fonctionf est croissante sur [a;b], donc pour toutucompris entrexetx+hon a f(x)6f(u)6f(x+h).

L’aire Z x+h

x

f(t)dtest comprise entreh×f(x), l’aire du rectangleA1, eth×f(x+h), l’aire du rectangleA2. D’o`u :

h×f(x)6F(x+h)−F(x)6h×f(x+h) en divisant l’in´egalit´e parh >0 :

f(x)6 F(x+h)−F(x)

h 6f(x+h)

Comme la fonctionf est continue enx, lorsquextend vers 0,f(x+h) tend versf(x).

D’apr`es le th´eor`eme des gendarmes on en d´eduit que lim

h→0⁺

F(x+h)−F(x) h =f(x)

•Cas h <0 : on d´emontre de mˆeme pourh <0 que f(x+h)6 F(x+h)−F(x)

h 6f(x)

comme la fonctionf est continue enx, lorsquextend vers 0,f(x+h) tend versf(x).

D’apr`es le th´eor`eme des gendarmes on en d´eduit que lim

h→0⁻

F(x+h)−F(x)

h =f(x)

Conclusion : la fonctionF est d´erivable pour toutxde [a;b] etF⁰(x) =f(x)

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