AP13 - Intégration - TS
Exercice 1 :
Recopier et compléter les affirmations suivantes :
1. Si f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a; b] alors
∫ b
a
f (t) d t est l’aire . . . 2. Si f une fonction continue sur l’intervalle [a; b] alors x 7−→
∫ x
a
f (t ) d t est la . . .
3. Si f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a; b] alors F (b) − F (a ) est égale à l’intégrale . . . où F est . . .
Exercice 2 :
Calculer les intégrales suivantes : A=
∫ 3
−2 4x 2 + 5x d x B=
∫ −1
−2 x 2 + 1 x 2 d x
C=
∫ 4
1
p 3 x d x D=
∫ e
21
2x − 1 x d x
E=
∫ 2
−1 3t e t
2+2 d t F=
∫ 2
1
1 v 2 d v
Exercice 3 :
Déterminer la primitive F i qui s’annule en a de chacune des fonctions f i suivantes définies sur R f 1 (x) = − 2x − 1
(x 2 + x + 1) 2 et a = 3 f 2 (x) = (10x − 2) (
5x 2 − 2x + 1 ) 4
et a = 1 f 3 (x) = 20x 3 + 10x
( 1 + x 2 + x 4 ) 3 et a = 0
f 4 (x) = xe x
2et a = p 2.
f 5 (x) = 2x
p x 2 + 1 et a = −3.
f 6 (x) = 10x + 5
x 2 + x + 1 et a = 1.
Exercice 4 :
En utilisant les propriétés de linéarité de l’intégrale, calculer : A = 2
∫ 1
− 1 x(1+ x + x 2 ) 5 d x +
∫ 1
− 1
(1 + x + x 2 ) 5 d x B =
∫
π 40
2xcos 2 (x) d x−2
∫
π 40
(1 + xcos(x))cos(x) d x
Exercice 5 :
Soit Φ la fonction définie sur [0;+∞[ par x 7−→
∫ x
0
t 2 + t + 1 d t
1. Représenter graphiquement x 7−→ Φ (x) à l’aide de la courbe de la fonction f : x 7−→ x 2 + x + 1 2. Déterminer Φ (3).
3. Étudier les variations de Φ sur [0; +∞ [.
4. Donner l’expression de Φ sans écriture intégrale.
Exercice 6 :
Soit Ψ la fonction x 7−→
∫ x
0
e − t
2d t définie sur R + . 1. Étudier les variations de Ψ.
2. Donner le tableau de valeur de Ψ pour x ∈ [0; 5] avec un pas de 1 à l’aide de votre calculatrice.
3. Donner à l’aide de votre calculatrice une approximation de lim
x→+∞ Ψ(x)
Exercice 7 :
Déterminer l’aire entre la courbe de la fonction f : x 7−→ (x−1)(x −2)(x−3), l’axe des abscisses, la droite d’équation x = 0 et la droite d’équation x = 4.
Exercice 8 :
Démontrer qu’il existe une unique valeur a (avec a > 1) telle que l’aire sous la courbe de la fonction inverse entre l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 1 et x = a est égale à 2.
Exercice 9 :
Déterminer l’aire coloriée entre les deux courbes ci-dessous :
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4 0
−1
−2
−3
− 4 1 2 3
y = x − si n(x) y = x + si n(x)
Exercice 10 :
On considère la fonction f définie sur R par
f (x) = x + 2 e x
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
1. Étude de la fonction f .
a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C avec les axes du repère.
b. Étudier les limites de la fonction f en −∞ et en +∞.
c. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe C . d. Étudier les variations de f sur R.
2
2. On note D le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation x = 0 et x = 1. On approche l’aire du domaine D en calculant une somme d’aires de rectangles.
a. Dans cette question, on découpe l’intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur :
• Sur l’intervalle [
0 ; 1 4 ]
, on construit un rectangle de hauteur f (0)
• Sur l’intervalle [ 1
4 ; 1 2 ]
, on construit un rectangle de hauteur f ( 1
4 )
• Sur l’intervalle [ 1
2 ; 3 4 ]
, on construit un rectangle de hauteur f ( 1
2 )
• Sur l’intervalle [ 3
4 ; 1 ]
, on construit un rectangle de hauteur f ( 3
4 ) Cette construction est illustrée ci-dessous.
C
1 1
2
O
L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaine D en ajou- tant les aires des quatre rectangles précédents :
S ←− 0 Pour k variant de 0 à 3 S ←− S + 1
4 f ( k
4 ) Fin Pour
Afficher S
Donner une valeur approchée à 10 −3 près du résultat affiché par cet algorithme.
b. Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l’intervalle [0 ; 1] en N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rec- tangle en procédant de la même manière qu’à la question 2.a. Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits.
3. Soit g la fonction définie sur R par
g (x) = ( − x − 3)e −x . a. Démontrer que g est une primitive de la fonction f sur R . b. Calculer l’aire A du domaine D , exprimée en unités d’aire.
c. Donner une valeur approchée à 10 −3 près de l’erreur commise en remplaçant A par la valeur approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2. a, c’est-à -dire l’écart entre ces deux valeurs.
3
Exercice 11 :
0.5 1.0
− 0.5
− 1.0
− 1.5
− 2.0
0
− 0.5
−1.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
T C : y = e x
a
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