1. Si f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a; b] alors

AP13 - Intégration - TS

Exercice 1 :

Recopier et compléter les affirmations suivantes :

1. Si f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a; b] alors

∫ _b

a

f (t) d t est l’aire . . . 2. Si f une fonction continue sur l’intervalle [a; b] alors x 7−→

∫ _x

a

f (t ) d t est la . . .

3. Si f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a; b] alors F (b) − F (a ) est égale à l’intégrale . . . où F est . . .

Exercice 2 :

Calculer les intégrales suivantes : A=

∫ ₃

−2 4x ² + 5x d x B=

∫ ₋₁

−2 x ² + 1 x ² d x

C=

∫ ₄

1

p 3 x d x D=

∫ _e

1

2x − 1 x d x

E=

∫ ₂

−1 3t e ^t

⁺² d t F=

∫ ₂

1

1 v ² d v

Exercice 3 :

Déterminer la primitive F _i qui s’annule en a de chacune des fonctions f _i suivantes définies sur R f ₁ (x) = − 2x − 1

(x ² + x + 1) ² et a = 3 f ₂ (x) = (10x − 2) (

5x ² − 2x + 1 ) ₄

et a = 1 f ₃ (x) = 20x ³ + 10x

( 1 + x ² + x ⁴ ) ₃ et a = 0

f ₄ (x) = xe ^x

et a = p 2.

f ₅ (x) = 2x

p x ² + 1 et a = −3.

f ₆ (x) = 10x + 5

x ² + x + 1 et a = 1.

Exercice 4 :

En utilisant les propriétés de linéarité de l’intégrale, calculer : A = 2

∫ ₁

− 1 x(1+ x + x ² ) ⁵ d x +

∫ ₁

− 1

(1 + x + x ² ) ⁵ d x B =

∫

0

2xcos ² (x) d x−2

∫

0

(1 + xcos(x))cos(x) d x

Exercice 5 :

Soit Φ la fonction définie sur [0;+∞[ par x 7−→

∫ _x

0

t ² + t + 1 d t

1. Représenter graphiquement x 7−→ Φ (x) à l’aide de la courbe de la fonction f : x 7−→ x ² + x + 1 2. Déterminer Φ (3).

3. Étudier les variations de Φ sur [0; +∞ [.

4. Donner l’expression de Φ sans écriture intégrale.

Exercice 6 :

Soit Ψ la fonction x 7−→

∫ _x

0

e ^{− t}

d t définie sur R ⁺ . 1. Étudier les variations de Ψ.

2. Donner le tableau de valeur de Ψ pour x ∈ [0; 5] avec un pas de 1 à l’aide de votre calculatrice.

3. Donner à l’aide de votre calculatrice une approximation de lim

x→+∞ Ψ(x)

Exercice 7 :

Déterminer l’aire entre la courbe de la fonction f : x 7−→ (x−1)(x −2)(x−3), l’axe des abscisses, la droite d’équation x = 0 et la droite d’équation x = 4.

Exercice 8 :

Démontrer qu’il existe une unique valeur a (avec a > 1) telle que l’aire sous la courbe de la fonction inverse entre l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 1 et x = a est égale à 2.

Exercice 9 :

Déterminer l’aire coloriée entre les deux courbes ci-dessous :

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4 0

−1

−2

−3

− 4 1 2 3

y = x − si n(x) y = x + si n(x)

Exercice 10 :

On considère la fonction f définie sur R par

f (x) = x + 2 e ^x

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

1. Étude de la fonction f .

a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C avec les axes du repère.

b. Étudier les limites de la fonction f en −∞ et en +∞.

c. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe C . d. Étudier les variations de f sur R.

2

2. On note D le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation x = 0 et x = 1. On approche l’aire du domaine D en calculant une somme d’aires de rectangles.

a. Dans cette question, on découpe l’intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur :

• Sur l’intervalle [

0 ; 1 4 ]

, on construit un rectangle de hauteur f (0)

• Sur l’intervalle [ 1

4 ; 1 2 ]

, on construit un rectangle de hauteur f ( 1

4 )

• Sur l’intervalle [ 1

2 ; 3 4 ]

, on construit un rectangle de hauteur f ( 1

2 )

• Sur l’intervalle [ 3

4 ; 1 ]

, on construit un rectangle de hauteur f ( 3

4 ) Cette construction est illustrée ci-dessous.

C

1 1

2

O

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaine D en ajou- tant les aires des quatre rectangles précédents :

S ←− 0 Pour k variant de 0 à 3 S ←− S + 1

4 f ( k

4 ) Fin Pour

Afficher S

Donner une valeur approchée à 10 ⁻³ près du résultat affiché par cet algorithme.

b. Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l’intervalle [0 ; 1] en N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rec- tangle en procédant de la même manière qu’à la question 2.a. Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits.

3. Soit g la fonction définie sur R par

g (x) = ( − x − 3)e ^−x . a. Démontrer que g est une primitive de la fonction f sur R . b. Calculer l’aire A du domaine D , exprimée en unités d’aire.

c. Donner une valeur approchée à 10 ⁻³ près de l’erreur commise en remplaçant A par la valeur approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2. a, c’est-à -dire l’écart entre ces deux valeurs.

3

Exercice 11 :

0.5 1.0

− 0.5

− 1.0

− 1.5

− 2.0

0

− 0.5

−1.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

T C : y = e ^x

a

×

×

×

×

Pour tout réel a, démontrer que l’aire du domaine hachuré D situé entre la courbe de la fonction exponentielle C et sa tangente T en a est

D = e ^a ( 1

2 − 1 e )

Démontrer ensuite que le rapport de l’aire du domaine hachuré D par l’aire sous la courbe de la fonc- tion exponentielle entre a − 1 et a est

e − 2

2e − 2

Résultats ou indices

Ex.1 voir cours.

Ex.2 355 6 ; 17

6 ; 6 ; e ⁴ − 3 ; 3

2 e ³ (e ³ − 1) ; 1 Ex.3 2

Dans le désordre : F (x) = 1 5

( 5x ² − 2x + 1 ) ₅

− 1024

5 ; F (x) = − 5

2(1 + x ² + x ⁴ ) + 5

2 ; F (x) = 1 2 e ^x

− 1

2 e ² ; F (x) = 2 p

x ² + 1 − 2 p 10 ; F (x) = 1

x ² + x + 1 − 1

13 ; F (x) = 5 ln(x ² + x + 1) − 5 ln(3) Ex.4 364

3 ; − p 2 Ex.5

1. Indice : Un polynôme de degré trois, s’annulant en 0. 2. 33

2 3. Indic. : Etudier le signe de f . 4. 1 3 x ³ + 1

2 x ² + x Ex.6

1. Ψ est croissante sur R ⁺ . 2. Voir la calculatrice. Remlarque : on ne sait pas calculer algébriquement cette intégrale (pour le moment :)).

Ex.7 5 u.a.

Ex.8 a = e ² . Ex.9 8 u.a.

Ex.10

1.a. (0; 2) 1.b. En −∞ : −∞. En +∞ : 0. 1.c. y = 0. 1.d.

x −∞ − 1 +∞

− x − 1 + 0 − f (t)

−∞

e

@ @

@ R 0 2.a. S ≈ 1, 642. 2.b.

Lire N S ←− 0

Pour k variant de 0 à N-1 S ←− S + 1

N f ( k

N ) Fin Pour

Afficher S 3.a. Réponse donnée. 3.b. 3 − 4

e u.a. ≈ 1, 528u.a . 3.c. ≈ 0, 0114

Ex.11 Première question : réponse donnée. Deuxième question : idem.

5