Montrer que l'application {0

MPSI B DM 8 29 juin 2019

Problème I

SoitG, un groupe noté multiplicativement, d'élément neutreedans lequel il existe deux élémentsaetb, distincts et diérents deevériant

aba=b On noteH ={a^jb^k,(j, k)∈Z²}.

1. a. Montrer que

∀j∈Z, a^jb=ba^−j b. Montrer que pour tous les entiersj etk dansZ:

∀(j, k)∈Z², a^jb^k =b^ka^(−1)kj 2. Montrer queH est le sous-groupe deGengendré paraetb.

3. On suppose qu'il existe des entiersk etsstrictements positifs tels que a^k=e , b^s=e

On note :

n= min{k∈N^∗, a^k=e}, m= min{k∈N^∗, b^k =e}

et on suppose quemet nsont premiers entre eux.

a. Montrer que, pour toutpdansZ,a^p=eentraînepmultiple den. b. Montrer que, pour tous entiers relatifsj etk :

a^j=b^k⇒j∈nZetk∈mZ

c. Montrer que l'application

{0,· · ·, n−1} × {0,· · · , m−1} → H (j, k) 7→ a^jb^k est bijective. CombienH contient-il d'éléments ?

4. SoitGle groupe des bijections deCdansC. Déterminer le cardinal du sous-groupeH deGengendré par les applicationsret sdénies par :

∀z∈C, r(z) =jz , s(z) = ¯z Interpréter géométriquement chaque élément deH.

Problème II.

Soit(u_n)_n∈N^∗ une suite de réels non nuls, on lui associe la suite(p_n)_n∈N^∗ dénie par : p_n =u₁u₂· · ·u_n

On dira que le produit inniQ

n≥1u_n converge si et seulement la suite(p_n)_n∈N^∗ converge vers un nombre non nul. Cette limite sera notéeQ

n≥1u_n. Si la suite(p_n)ne converge pas, on dira que le produit diverge.

I. Exemples.

1. Soituk = 1 +¹_k.

Simpliezpn. Le produitQ

n≥1(1 +_n¹)est-il divergent ou convergent ? 2. Soitu_k = cos₂^a_k aveca6≡0 modπ.

Pour tout n ∈ N^∗, calculer p_nsin₂^a_n. En déduire que le produit inni converge et préciser

Y

n≥1

cos a 2ⁿ.

3. Soitu_k = 1−_k¹2 pourk≥2. Montrer que le produit inni converge et calculer Y

n≥2

(1− 1 n²).

4. Soita∈]0,1[et uk = 1 +a^(2k). Calculer(1−a²)pn. En déduire la convergence et la valeur du produit inni.

II. Conditions.

1. Montrer que si le produit inniQ

n≥1u_nconverge alors la suite(u_n)_n∈N^∗converge vers 1.

2. On supposeun >0à partir d'un certain rangn0. Montrer que la convergence du produit inniQ

n≥1un est équivalent à la convergence de la série(P

ln(un))n≥n0. Dans ce cas, comment sont reliés la valeur du produit inni et la somme de la série ?

3. Montrer que, sous l'une des hypothèses suivantes

à partir d'un certain rangn0,un= 1−vn avec0< vn<1, à partir d'un certain rangn0,un= 1 +vn avec0< vn, le produit inniQ

n≥1un converge si et seulement si la série(Pvn)_n≥n

0 converge.

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III. Un expression de sin comme produit inni.

Dans cette partie,x∈]−1,1[.

1. a. Montrer la convergence de la série(P 2x x²−n²)_n≥1. b. Montrer la convergence du produit inniQ

n≥1(1−_n^x22). 2. Études locales.

a. Former un développement asymptotique en0 avec un reste eno(t)de t7→πcotan(πt).

b. Montrer que l'on peut prolonger par continuité la fonction dénie par :

∀t∈]−1,+1[\ {0}, t7→ln sinπt

πt

.

On notef la fonction ainsi prolongée.

c. Montrer quef estC¹dans]−1,+1[et préciserf⁰. 3. On admet la relation suivante

∀x∈]−1,1[, f⁰(x) =X

n≥1

2x x²−n².

a. Montrer que

∀t∈]0,1[,∀n∈N\ {0,1}, t

n²−t² ≤ 1 n²−1 b. Montrer que

∀N ∈N^∗,∀x∈]−1,+1[

ln

sin(πx) πx

−

N

X

n=1

Z x

0

2t t²−n²dt

≤ |x|

+∞

X

n=N+1

2 n²−1.

c. En déduire

∀x∈]−1,+1[, sin(πx) =πxY

n≥1

1−x²

n²

.

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