On dira que le produit inni Q

MPSI B Année 20011-20012 Énoncé DM 9 29 juin 2019

Soit (u n ) n∈ N

une suite de réels non nuls, on lui associe la suite (p n ) n∈ N

dénie par : p n = u 1 u 2 · · · u n

On dira que le produit inni Q

n≥1 u n converge si et seulement la suite (p n ) _{n∈ N}

converge vers un nombre non nul. Cette limite sera notée Q

n≥1 u n . Si la suite (p n ) ne converge pas, on dira que le produit diverge.

I. Exemples.

1. Soit u _k = 1 + ¹ _k .

Simpliez p _n . Le produit Q

n≥1 (1 + _n ¹ ) est-il divergent ou convergent ? 2. Soit u k = cos ₂ ^a

avec a 6≡ 0 mod π .

Pour tout n ∈ N ^∗ , calculer p n sin ₂ ^a

. En déduire que le produit inni converge et préciser

Y

n≥1

cos a 2 ⁿ .

3. Soit u _k = 1 − _k ¹

pour k ≥ 2 . Montrer que le produit inni converge et calculer Y

n≥2

(1 − 1 n ² ).

4. Soit a ∈]0, 1[ et u k = 1 + a ⁽²

⁾ . Calculer (1 − a ² )p n . En déduire la convergence et la valeur du produit inni.

II. Conditions.

1. Montrer que si le produit inni Q

n≥1 u n converge alors la suite (u n ) _n∈N

converge vers 1.

2. On suppose u n > 0 à partir d'un certain rang n 0 . Montrer que la convergence du produit inni Q

n≥1 u n est équivalent à la convergence de la série ( P

ln(u n )) n≥n

. Dans ce cas, comment sont reliés la valeur du produit inni et la somme de la série ?

3. Montrer que, sous l'une des hypothèses suivantes

à partir d'un certain rang n ₀ , u _n = 1 − v _n avec 0 < v _n < 1 , à partir d'un certain rang n ₀ , u _n = 1 + v _n avec 0 < v _n , le produit inni Q

n≥1 u n converge si et seulement si la série ( P v n ) _n≥n

0

converge.

III. Un expression de sin comme produit inni.

Dans cette partie, x ∈] − 1, 1[ .

1. a. Montrer la convergence de la série ( P 2x x

−n

) _n≥1 . b. Montrer la convergence du produit inni Q

n≥1 (1 − _n ^x

) . 2. Études locales.

a. Former un développement asymptotique en 0 avec un reste en o(t) de t 7→ π cotan(πt).

b. Montrer que l'on peut prolonger par continuité la fonction dénie par :

∀t ∈] − 1, +1[\ {0} , t 7→ ln

sin πt πt

.

On note f la fonction ainsi prolongée.

c. Montrer que f est C ¹ dans ] − 1, +1[ et préciser f ⁰ . 3. On admet la relation suivante

∀x ∈] − 1, 1[, f ⁰ (x) = X

n≥1

2x x ² − n ² .

a. Montrer que

∀t ∈]0, 1[, ∀n ∈ N \ {0, 1} , t

n ² − t ² ≤ 1 n ² − 1 b. Montrer que

∀N ∈ N ^∗ , ∀x ∈] − 1, +1[

ln

sin(πx) πx

−

N

X

n=1

Z x

0

2t t ² − n ² dt

≤ |x|

+∞

X

n=N +1

2 n ² − 1 .

c. En déduire

∀x ∈] − 1, +1[, sin(πx) = πx Y

n≥1

1 − x ²

n ²

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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