A204 - Mini-somme et maxi-produit
Solution
Soit a + b + c + ……+ k = 30 la somme des n nombres réels positifs. Si l’on fixe par exemple chacun des n-2 termes c,d,…,k de somme s, le produit des termes a et b vaut a*(S-s-a) qui est maximum pour a = (S-s)/2 = b. Grâce à ce raisonnement mené pour tous les couples (a,b), (a,c),… on peut en déduire que le maximum du produit des n nombres est atteint quand ils sont tous identiques entre eux. Il en résulte que a = 30/n. Le produit vaut alors P = (30/n)^n.
La valeur de n qui rend P maximum est aussi celle qui maximise Log(P) = n*Log(30/n) = n*(Log(30) – Log(n)). Or d[ Log(P) ]/dn = Log(30) – Log(n) – 1 = 0. D’où n = Ent[30/e].
L’arrondi par défaut donne n=11 et l’arrondi par excès donne n=12.D’où a=30/11 d’une part et a=2.5 d’autre part. Les produits P correspondants sont respectivement (30/11)^11 = 62088,9… et 2.5^12 = 59604,6…
La solution est donc P = 62088,9.. obtenu avec 11 termes tous égaux à 30/11 = 2,72727….
