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Chapitre 6Identités remarquables et résolutions d’équations1.Identités remarquables. Propriétés : distributivité•Pour tous nombres réels a, b et k, on a k  (a + b) = k  a + k  b.•Pour tous nombres réels a, b, c et d, on a :(a + b)  (c + d) = ac + ad +

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Academic year: 2022

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Chapitre 6

Identités remarquables et résolutions d’équations

1. Identités remarquables.

Propriétés : distributivité

• Pour tous nombres réels a, b et k, on a k  (a + b) = k  a + k  b.

• Pour tous nombres réels a, b, c et d, on a : (a + b)  (c + d) = ac + ad + bc + bd.

• En particulier :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 développements factorisations

Remarques :

• Développer, c’est transformer un produit en somme.

• Factoriser, c’est transformer une somme en produit.

Exemples :

• Développons ( x – 2)2 :

( x – 2)2 = x2 – 2  2x + 22 = x2 – 4x + 4.

• Factorisons x2 – 16 :

x2 – 16 = x – 42 = ( x – 4)(x + 4).

(2)

2. Diverses méthodes pour résoudre des équations.

a) Règle du produit nul.

Propriété :

• Un produit est nul lorsque l’un des facteurs est nul.

Exemple :

Je résous dans

l’équation (3x – 1)(2x + 7) = 0.

Un produit est nul lorsque l’un des facteurs est nul.

(3x – 1)(2x + 7) = 0  3x – 1 = 0 ou 2x + 7 = 0

 x = 1

3 ou x = – 7 2 donc s = { 1

3 ; – 7 2 }.

b) Équations du type x2 = a, avec a réel.

Propriété :

• Si a < 0 alors l’équation x2 = a n’admet pas de solution.

• Si a = 0 alors l’équation x2 = a admet une unique solution qui est 0.

• Si a > 0 alors l’équation x2 = a admet deux solutions qui sont

a et –

a.

Démonstration du 3ème cas : x2 = a  x2 – a = 0 or a > 0 donc a = (

a)2

 x2 – (

a)2 = 0

 (x –

a)(x +

a) = 0 en utilisant a2 – b2 = (a + b)(a – b)  (x –

a)(x +

a) = 0

Un produit est nul lorsque l’un des facteurs est nul  x –

a = 0 ou x +

a = 0

 x =

a ou x = –

a

donc l’équation x2 = a admet deux solutions qui sont

a et –

a

Exemple :

Je résous dans

l’équation x2 = 25.

l’équation x2 = 25 admet deux solutions qui sont 5 et – 5 car

25 = 5.

(3)

c) Règle du quotient nul.

Propriété :

• Un quotient est nul lorsque son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

Remarques :

• Les valeurs pour lesquelles le dénominateur est nul s’appellent parfois les valeurs interdites. On parle aussi de conditions d’existence de ce quotient.

• Dans les équations du type A B = C

D , on transformera l’écriture en AD = BC avec B  0 et D  0.

Exemple :

Je résous dans

l’équation 2x+ 4 x –1 = 0.

Conditions d’existence : x – 1  0  x  1 Pour x  1, 2x+ 4

x –1 = 0  2x + 4 = 0  2x = – 4  x = – 2 – 2  1 (on regarde que l’on ne tombe pas sur la valeur interdite)

donc s { – 2 }.

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