Chapitre 6
Identités remarquables et résolutions d’équations
1. Identités remarquables.
Propriétés : distributivité
• Pour tous nombres réels a, b et k, on a k (a + b) = k a + k b.
• Pour tous nombres réels a, b, c et d, on a : (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd.
• En particulier :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 développements factorisations
Remarques :
• Développer, c’est transformer un produit en somme.
• Factoriser, c’est transformer une somme en produit.
Exemples :
• Développons ( x – 2)2 :
( x – 2)2 = x2 – 2 2x + 22 = x2 – 4x + 4.
• Factorisons x2 – 16 :
x2 – 16 = x – 42 = ( x – 4)(x + 4).
2. Diverses méthodes pour résoudre des équations.
a) Règle du produit nul.
Propriété :
• Un produit est nul lorsque l’un des facteurs est nul.
Exemple :
Je résous dans
l’équation (3x – 1)(2x + 7) = 0.Un produit est nul lorsque l’un des facteurs est nul.
(3x – 1)(2x + 7) = 0 3x – 1 = 0 ou 2x + 7 = 0
x = 1
3 ou x = – 7 2 donc s = { 1
3 ; – 7 2 }.
b) Équations du type x2 = a, avec a réel.
Propriété :
• Si a < 0 alors l’équation x2 = a n’admet pas de solution.
• Si a = 0 alors l’équation x2 = a admet une unique solution qui est 0.
• Si a > 0 alors l’équation x2 = a admet deux solutions qui sont
√
a et –√
a.Démonstration du 3ème cas : x2 = a x2 – a = 0 or a > 0 donc a = (
√
a)2 x2 – (
√
a)2 = 0 (x –
√
a)(x +√
a) = 0 en utilisant a2 – b2 = (a + b)(a – b) (x –√
a)(x +√
a) = 0Un produit est nul lorsque l’un des facteurs est nul x –
√
a = 0 ou x +√
a = 0 x =
√
a ou x = –√
adonc l’équation x2 = a admet deux solutions qui sont
√
a et –√
a Exemple :
Je résous dans
l’équation x2 = 25.l’équation x2 = 25 admet deux solutions qui sont 5 et – 5 car
√
25 = 5.c) Règle du quotient nul.
Propriété :
• Un quotient est nul lorsque son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.
Remarques :
• Les valeurs pour lesquelles le dénominateur est nul s’appellent parfois les valeurs interdites. On parle aussi de conditions d’existence de ce quotient.
• Dans les équations du type A B = C
D , on transformera l’écriture en AD = BC avec B 0 et D 0.
Exemple :
Je résous dans
l’équation 2x+ 4 x –1 = 0.Conditions d’existence : x – 1 0 x 1 Pour x 1, 2x+ 4
x –1 = 0 2x + 4 = 0 2x = – 4 x = – 2 – 2 1 (on regarde que l’on ne tombe pas sur la valeur interdite)
donc s { – 2 }.