Etudier la nature de la série X n∈N qn et donner la valeur de la somme dans le cas de convergence

Problème : Développement décimal de réels Partie N^o1 : Exemples de séries numériques

Soit(u_n)une suite de réels. On dit que la série X

n∈N

u_nconverge si la suite(S_p) =

p

X

n=0

u_n

!

converge.

Dans ce cas, on note lim

p→+∞S_p =

+∞

X

n=0

u_n.

Il y a des tonnes de choses très intéressantes à dire sur les séries numériques et nous y consacrerons un chapitre en fin d’année.

Dans ce problème, nous allons voir qu’il y est possible d’écrire tout réel à l’aide d’une série numérique très spécifique (appelée développement décimal de ce réel) et que ce développement permet de carac- tériser l’irrationalité de ce réel.

On commence par donner quelques exemples.

1. Soitq ∈R. Etudier la nature de la série X

n∈N

qⁿ et donner la valeur de la somme dans le cas de convergence.

2. Etudier la nature de la série harmoniqueX

n>1

1 n. 3. Montrer que la série X

n>1

1

n² converge. Rappeler la valeur de la somme.

Partie N^o2 : Développement décimal d’un réel Dans cette partie, on prouve le résultat qui suit.

Soitx∈R. Il existe une unique suite (an) vérifiant

— a0 ∈Z.

— Pour toutn∈N^?,an∈ {0,· · ·,9}.

— Pour toutn∈N,

a₀+a₁

10 +· · ·+ a_n

10ⁿ 6x < a₀+a₁

10 +· · ·+ a_n 10ⁿ+ 1

10ⁿ. La suite(an) est appelée le développement décimal dex. On écrit x=a0, a1a2· · ·.

Théorème 1: Développement décimal d’un réel

1. Existence. On souhaite montrer l’existence de la suite(an) du Théorème 1..

On pose a₀ =bxc et pourn∈N^?,a_n=b10ⁿxc −10b10ⁿ⁻¹xc.

(a) Montrer quea₀ ∈Z.

(b) Montrer que, pour tout n∈N^?,a_n∈ {0,· · ·,9}.

(c) Montrer l’existence du Théorème 1.

2. Unicité. On souhaite montrer l’unicité de la suite(an)du Théorème 1..

Pour cela, on suppose donnée(b_n) une seconde suite vérifiant les conditions du Théorème 1..

On suppose qu’il existe k∈Ntel queak6=bk.

1

(a) Montrer queA={n∈N/ an6=bn}possède un minimum.

On choisit de noterp ce minimum.

(b) Montrer que−1< a_p−b_p <1.

(c) Dénicher une contradiction puis conclure 3. Compléments au Théorème 1.

(a) Montrer que sous les conditions du Théorème 1, la série X

n∈N

a_n

10ⁿ converge versx.

On a donc x=

+∞

X

n=0

a_n 10ⁿ.

(b) Montrer que sous les conditions du Théorème 1, la suite(an) n’est pas constante égale à 9 à partir d’un certain rang.

Partie N^o3 : Caractérisation d’un décimal à l’aide de son développement décimal Dans cette partie, on démontre qu’un réel est décimal si, et seulement si, la suite (an) de son développement décimal est nulle à partir d’un certain rang.

Soitx∈R. On note(a_n) la suite de son développement décimal (donnée par le Théorème 1.).

1. On suppose que (a_n) est nulle à partir d’un certain rang.

Plus précisément, on suppose qu’il existeN ∈Ntel que, pour toutn>N,an= 0.

Montrer quex∈D.

2. Réciproquement, on suppose quex∈D.

(a) Sous quelle forme rationnelle, peut-on écrire x?

(b) En utilisant la valeur trouvée pour la suite (an) dans la question 1. de la partie 2, montrer que la suite(a_n)est nulle à partir d’un certain rang.

Partie N^o4 : Caractérisation d’un rationnel à l’aide de son développement décimal Dans cette partie, on démontre qu’un réel est rationnel si, et seulement si, la suite (an) de son déve- loppement décimal est périodique à partir d’un certain rang.

Soitx∈R. On note(a_n) la suite de son développement décimal (donnée par le Théorème 1.).

1. On suppose que (a_n) est périodique à partir d’un certain rang. Plus précisément, on suppose qu’il existeN ∈N, qu’il existeT ∈N^? tel que, pour toutn>N,an+T =an.

(a) Montrer que, pour tout N 6p6N +T −1,

+∞

X

k=0

ap+T k

10^{p+T k} ∈Q.

(b) Montrer quex∈Q.

2. Réciproquement, on suppose quex∈Q.

On peut alors écrire x= ^a_b aveca∈Z etb∈N^?. On définie les suites (fa_n) et(r_n) de la façon suivante :

— ae₀ etr₀ sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne deaparb.

— Pour toutn>1,af_netr_nsont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de 10rn−1 parb.

2

(a) Montrer que, pour toutn∈N, l’entierrnest le reste de la division euclidienne de10ⁿapar b.

Donner le quotient correspondant à l’aide de termes de la suite (fan).

(b) Montrer que la suite (fa_n) vérifie les conditions du Théorème 1.

Qu’en conclure ?

(c) Montrer qu’il existe deux entiers naturelss < t tels quers=rt.

(d) Montrer que, pour tout k∈N,rs+k =rt+k puis que, pour toutk∈N^?,as+k=at+k. (e) Conclure.

* * * FIN DU SUJET * * *

3