Math´ematiques 2020-2021 Minitest N◦11−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ Corrig´e
• D´emontrer que 1 +q+· · ·+qn= 1−qn+1
1−q pour tout nombre q 6= 1 Notons Sn = 1 +q+· · ·+qn.
On a q×Sn =q+q2+· · ·+qn+1.
donc par diff´erence : Sn−q×Sn= 1−qn+1 car tous les autres termes s’´eliminent.
Factorisons, on obtient : Qn×(1−q) = 1−qn+1.
Puisque q 6= 1, le facteur (1−q) n’est pas nul, on peut diviser et obtenir : Sn= 1 +q+· · ·+qn= 1−qn+1
1−q
• Quelle est la valeur exacte de 1 + 3 + 9 +· · ·+ 318?
La suite est g´eom´etrique car on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par 3.
De 1 = 30 `a 318 il y a 19 termes
La formule du cours s’´ecrit alors 1 + 3 + 9 +· · ·+ 318= 1× 1−319
1−3 = 581130733
• Un salaire fix´e initialement `a 1000e augmente de 0,1% tous les mois.
Quel est le coefficient multiplicateur associ´e `a cette augmentation ? Quel serait le salaire dans 10 ans ?
Augmenter de 0,1% c’est multiplier par
1− 0,1 100
= 1,001.
Notons Sn le salaire apr`es n mois, dans 10 ans, cela fera 120 mois et on aura S120 = 1000×1,001120 ≈1127,42
Dans 10 ans le salaire sera d’environ 1127,42e
1 1`ere
