A.BERGER Cours de prérentrée TS Trigonométrie 1 /7 Lecture du cercle trigonométrique (1 à 7)
Exercice 1 :
Déterminer la valeur exacte de :
= −
= − = − = −
− = − √
= − = = √
= =
− = −
+ = = √
= =
= = −
= − × = − = −
Exercice 2 :
Déterminer un réel dans chaque cas :
1° =
√ = !" 2°
√ =
#√ = !" 3° $1 =0 = !" 4° $ 0 =−1 = !" 5°
#√ =
# = !"
1° =' 2° = −'( 3° = 0 4° = ' = −)'*
Exercice 3 : ! étant un paramètre fixé, écrire sous la forme" cos + ! !" " : ) √ + !√ = cos '( + ! sin '(
2) −√ + ! = cos )'* + ! sin )'*
) 0 + ! = cos ' + ! sin '
3) # − !√ = cos # ' + ! sin # ' 4) − 1 + 0! = cos56) + ! sin56)
TRIGONOMETRIE
A.BERGER Cours de prérentrée TS Trigonométrie 2 /7 Exercice 4 :
Résoudre les équations suivantes a) dans 7– 6 ; +67, b) dans :0 ; 26::
< = √3
2 >]#' ; @']= $6 6 ; −6
6 B >:C ; ': = D6 6 ; 116
6 E
!"< = 1 >]#' ; @']= $6
2B >:C ; ': = $6 2B ;
!"< =−√3
2 >]#' ; @'] = D−6 3 ; −26
3 E >:C ; ': = D56 3 ; 46
3 E ;
< = −1 >]#' ; @'] = H6I >:C ; ': = H6I;
cos < = − √2
2 >]#' ; @'] = D36 4 ; −36
4 E >:C ; ': = D36 4 ; 56
4 E Exercice 5 : Signe de < et !"< sur :−6; +6]
< −6 −' 0 ' 6
cos5<) − 0 + 0 −
sin 5<) 0 − 0 + 0
< 0 ' 6 ' 26
cos5<) + 0 − 0 +
sin 5<) 0 + 0 − 0
Exercice 6 :
1° Résoudre les inéquations suivantes a) dans 7– 6 ; +67, b) dans : 0 ; 26: : cos < ≥1
2 >]#' ; @']= K−6 3 ;6
3L >:C ; ': = K0;6
3L ∪ N56 3 ; 26N sin < <1
2 >]#' ; @'] = L−6;6
6K ∪ P56
6 ; 6P >:C ; ': = K0 ; 6
6K ∪ P56 6 ; 26N
!"< > −1 >]#' ; @'] = L−6;−6
2 K ∪ L−6
2 ; 6L >:C ; ': = N0 ; 36
2 N ∪ P36 2 ; 26N
< ≤ 1
√2⟺ cos < ≤ √2
2 >]#' ; @'] = L−6 ;−6 4 L ∪ K6
4 ; 6L >:C ; ': = N6 4 ;76
4 P
!"< ≥ − √2
2 >]#' ; @'] = P−6 ;−36
4 P ∪ K−6
4 ; 6L >:C ; ': = N0;56
4 P ∪ N76
4 ; 26N
A.BERGER Cours de prérentrée TS Trigonométrie 3 /7 2° Etudier le signe de U5<) = 2 < − 1 sur :−6 ; 6],
Pour < ∈ :−6; +6] ∶
⋆ 2 < − 1 = 0
⟺ < =1
⟺ < = −62
3 Y < =6 3
⋆ 2 < − 1 > 0
⟺ < >1
⟺ < ∈ L−62 3 ;6
3K
< −6 −' ' 6 A5<) − 0 + 0 −
puis de [5<) = 1 − √2 !"< sur :−6 ; 6]
⋆ 1 − √2 !"< = 0
⟺ !"< = 1
√2
⟺ !"< = √2 2
⟺ < =6
4 Y < = 36 4
⋆ 1 − √2 !"< > 0
⟺ !"< < √2 2
⟺ < ∈ K−6 ;6
4K ∪ P36 4 ; 6P
< −6 '
( '
( 6 B5<) + 0 − 0 +
Exercice 7 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct 5] ; ^_ ; `_) .
Déterminer l’ensemble E1 des points M du plan tel que a^_ ; ]bcccccc_d = ' :26]
Déterminer l’ensemble E2 des points M du plan tel que a^_ ; ]bcccccc_d = −' :26]
Déterminer l’ensemble E3 des points M du plan tel que a^_ ; ]bcccccc_d = 0 :26]
Déterminer l’ensemble E4 des points M du plan tel que a^_ ; ]bcccccc_d = 6 :26]
A.BERGER Cours de prérentrée TS Trigonométrie 4 /7 Exercice 8 :
Sachant que < = − et – 6 < < < −' calculer : !"< ; e "< ; cos 5< 6/; sin 5< 6/.
5 </ 5 !"</² 1 ⟺ 1
3 5 !"</ 1 ⟺ 5 !"</ 8
9 ⟺ !"< 2√2
3 Y !"< 2√2 3 De plus : – 6 O < O ' donc !"< R 0
Ainsi !"< √
A.BERGER Cours de prérentrée TS Trigonométrie 5 /7 e "< !"<
<
2√23
− 13 =2√2 9 cos5< + 6) = − < =1
3 ;
sin5< − 6) = − sin56 − <) = − !"< = +2√2 3 Exercice 9 :
Exprimer en fonction de < et / ou !"<
U = cos5< + 36) + sin546 − <) + !" 6 2 − <
[ = !" < −36
2 + < +56
2 + !" < +76 i = cos526 − <) + 536 − <) + sin 536 − <)2 j = cos < +6
3 + cos < −6 3
U = cos5< + 36) + sin546 − <) + !" 6
2 − < = ⋯ = − !"<
[ = !" < −36
2 + < +56
2 + !" < +76
2 = ⋯ = − !"<
i = cos526 − <) + 536 − <) + sin536 − <) = ⋯ = !"<
j = cos < +6
3 + cos < −6
3 = ⋯ = <
Exercice 10 :
Réduire les sommes ci-dessous à la forme cos ( … ) ou sin( …. )
U = cos'. cos < − sin'. sin < [ =√ . !"< −√ . < i = −√ < + sin 5−<)
U = cos6
3 . cos < − sin6
3 . sin < = cos 6 3 + <
[ = √2
2 . !"< −√2 2 . <
= cos6
4 . !"< − sin6 4 . <
= sin 6 4 − <
i = − √3
2 < +1
2 sin5−<)
= − √3
2 < −1 2 sin <
= cos56
6 . cos < − sin56 6 . sin <
= cos 56 6 + <
Exercice 11 :
A.BERGER Cours de prérentrée TS Trigonométrie 6 /7 A et B sont deux points distincts. On considère les ensembles :
o m : la droite 5U[) privée du segment :U[]. o m : la droite 5U[) privée des deux points A et B.
o m : le segment :U[] privé des deux points A et B.
Reconnaître :
• L’ensemble des points M du plan tels que abUcccccc_ ; b[cccccc_d 0 :26?
• L’ensemble des points M du plan tels que abUcccccc_ ; b[cccccc_d n 6 n ∈
• L’ensemble des points M du plan tels que abUcccccc_ ; [bcccccc_d 0 :26?
Exercice 12 :
ABD est un triangle direct et A, B, C sont alignés dans cet ordre. Vrai ou faux ?
• a[Uccccc_ ; [iccccc_d 6 :26?
• aU[ccccc_ ; Uiccccc_d ai[ccccc_ ; iUccccc_d :26?
• aU[ccccc_ ; Ujccccc_d a[Uccccc_ ; jUccccc_d :26?
• a[Uccccc_ ; [jcccccc_d 6 a[iccccc_ ; [jcccccc_d :26?
• aU[ccccc_ ; Ujccccc_d a[jcccccc_ ; [Uccccc_d ajUccccc_ ; j[cccccc_d 6 :26?
• a[Uccccc_ ; [iccccc_d 6 :26? vrai
• aU[ccccc_ ; Uiccccc_d ai[ccccc_ ; iUccccc_d :26? vrai aU[ccccc_ ; Uiccccc_d 0 4e ai[ccccc_ ; iUccccc_d 0 :26?
• aU[ccccc_ ; Ujccccc_d a[Uccccc_ ; jUccccc_d :26? faux aU[ccccc_ ; Ujccccc_d a U[ccccc_ ; Ujccccc_d a[Uccccc_ ; jUccccc_d
• a[Uccccc_ ; [jcccccc_d 6 a[iccccc_ ; [jcccccc_d :26? faux
6 a[iccccc_ ; [jcccccc_d = 6 + a[jcccccc_ ; [iccccc_d a[iccccc_ ; [Uccccc_d + a[jcccccc_ ; [iccccc_d = a[jcccccc_ ; [Uccccc_d
• aU[ccccc_ ; Ujccccc_d a[jcccccc_ ; [Uccccc_d ajUccccc_ ; j[cccccc_d 6 :26? vrai aU[ccccc_ ; Ujccccc_d a[jcccccc_ ; [Uccccc_d ajUccccc_ ; j[cccccc_d
aU[ccccc_ ; Ujccccc_d a [jcccccc_ ; [Uccccc_d ajUccccc_ ; j[cccccc_d
A.BERGER Cours de prérentrée TS Trigonométrie 7 /7 aU[ccccc_ ; Ujccccc_d + aj[cccccc_ ;U[ccccc_d + ajUccccc_ ; j[cccccc_d
= ajUccccc_ ; j[cccccc_d + aj[cccccc_ ;U[ccccc_d + aU[ccccc_ ;Ujccccc_d = ajUccccc_ ; Ujccccc_d = 6 :26]
