Exercice 1
1) a) Déterminer suivant les valeurs de l’entier k, les restes modulo 7 de 2k b) En déduire le reste modulo 7 de A = 81001 + 23001
2) Montrer que pour tout n ∈ IN , 34n+2 - 4n+2 0 ( mod 7 ) 3) Soit l’équation (E1 ) : 6 x - 5 y = 7.
a) Montrer que si (x,y) est solution de (E1 ) alors x (mod 5) b) Résoudre alors l’équation (E1 )
4) Soit l’équation (E2 ) : 138 x - 55 y = 5 où (x,y) ∈ × .
Pour tout entier n, on considère les nombres : a = 55 n + 10 et b = 138 n + 25.
a) Vérifier que pour tout entier n, le couple (a,b) est solution de (E2 ) . b) En déduire les valeurs possibles de a ∧ b .
c) Déterminer l’ensemble des entiers n tels que a ∧ b = 5
Exercice 2
1. Vérifier que 136 1 (mod7) .
2. En déduire le reste modulo 7 de l’entier 132013 . 3. Soit n un entier, on pose a = 2n - 3 et b = 3n - 1 . a. Montrer que tout diviseur d de a et b, divise 7.
b. En déduire les valeurs possibles de a ∧ b c. Pour quelles valeurs de n, a-t-on : a ∧ b = 7.
4. Pour a = 2×132009 – 3 et b = 3×132009 - 1 , trouver a ∧ b.
Exercice 3
I-/ 1) Enoncer le théorème de Bézout et le théorème de gauss.
2) Démontrer le théorème de gauss en utilisant le théorème de Bézout II/ On considère, dans × , l'équation (E): 148x-97y =1 .
1) a-/ Vérifier que le couple (-19,-29) est une solution particulière de (E).
b-/ Résoudre, dans × , l'équation (E) . c-/ Déterminer l'inverse modulo 148 de 97.
2) a-/ Vérifier que 149 est premier.
b-/ Soit p un entier naturel non nul tel que p 148 . Montrer que p148 1 (mod 149) 3) Soit a ∈ { 2 ,3 ,……..,148} , On pose S(a) = 1 + a + a² + a3 + . . . .a147 .
a-/ Montrer que a148 -(a-1)S(a) =1.
b-/ En déduire que a148 et (a-1) sont premiers entre eux.
c-/ Montrer que 149 divise S(a).
Exercice 4
1) On considère l'équation (E) : 4x - 5y = 1. Résoudre dans × , l'équation (E), en remarquant que (-1;-1) est une solution particulière de (E).
2) On pose a = 4n + 3 et b = 3n + 1 où n est un entier naturel et soit d = a ∧ b (a) Déterminer les valeurs possibles de d.
(b) Montrer que : d = 5 si et seulement si, n 3 (mod 5).
(c) Déterminer suivant les valeurs de l'entier n, les restes modulo 5 de 2n a ∧ b = 5
(d) Déterminer le plus petit entier n > 2012 tels que : 2a + 3b 0 (mod 5 )
