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Exercice 2 – Soit un entier r &gt

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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ANNÉE UNIVERSITAIRE 2011/2012 Session 1 d’Automne

Parcours : Mathématiques et Informatique LIMA503 UE N1MA5031 : Algorithmique algébrique 1

Responsable : M. Jean-Paul Cerri Date : 12/12/2011. Durée : 3h.

Exercice 1– Soientmetndeux entiers>1. On noteϕla fonction indicatrice d’Euler.

Montrer l’équivalence

pgcd(m, n) = 1⇐⇒mϕ(n)+nϕ(m)≡1 modmn.

Exercice 2 – Soit un entier r > 1. On note (Z/2rZ)× le groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z/2rZ.

1)Montrer que pourr = 1etr = 2 ce groupe est cyclique.

2)Soit aun entier impair. Montrer par récurrence que pour toutr>3 on a a2r−2 ≡1 mod 2r.

3)En déduire que sir >3,(Z/2rZ)× n’est pas cyclique.

4)Montrer que sir>3, la classe de 5 dansZ/2rZest d’ordre2r−2 dans(Z/2rZ)×. En déduire que si r>3,(Z/2rZ)× est isomorphe à Z/2Z×Z/2r−2Z.

Exercice 3 – Soitn= 3837523.

1)On calcule 23837522 modnet on obtient 3134697. Que peut-on en déduire ?

2) On cherche à factoriser n par un algorithme du type Dixon. Pour cela on calcule les carrés d’entiers proches des √

i·n (i variant de 1 à 100) modulo n et on cherche à les décomposer sur la base de “premiers” B= {−1,2,3,5,7,11,13,17,19,23}. On obtient les résultats suivants :





























19642 ≡ 32·133 modn 33932 ≡ −1·23·3·5 modn 33972 ≡ 25·5·132 modn 51822 ≡ −1·3·11·172 modn 75872 ≡ −1·22·3·23 modn

80772 ≡ 2·19 modn

93982 ≡ 52·19 modn 142622 ≡ 52·72·13 modn 170782 ≡ 26·32·11 modn 190952 ≡ 22·5·11·13·19 modn

(2)

À l’aide de ces congruences1, trouver deux entiers x et y vérifiant x 6≡ ±y modn et x2≡y2 modn.

3)En déduire un facteur non trivial de n.

Exercice 4 –

1)SoitP(X)un polynôme deZ[X]. Soientn∈Zetm=P(n). Montrer que pour tout k∈Z,m divise P(n+km).

2) En déduire qu’il n’existe pas de polynôme non constantP(X) ∈Z[X]tel que pour toutn∈Z,P(n) soit premier.

Exercice 5 – Soit K un corps commutatif. On note K(X) le corps des fractions ra- tionnelles définies sur K, i.e l’ensemble des P(X)/Q(X) où P(X), Q(X) ∈ K[X] et Q(X)6= 0. SoitF(X)∈K(X).

1) Montrer qu’il existe A0(X), B0(X), C0(X) ∈ K[X] tels que F(X) peut se mettre sous la forme

F(X) =A0(X) +B0(X)

C0(X) avec degB0(X)<degC0(X).

2)Supposons que B0(X)6= 0. Montrer qu’il existeA1(X), B1(X), C1(X)∈K[X]tels queF(X) peut se mettre sous la forme

F(X) =A0(X) + 1

A1(X) +B1(X) C1(X)

avec degB1(X)<degC1(X).

3)Supposons que B1(X)6= 0. Montrer qu’il existeA2(X), B2(X), C2(X)∈K[X]tels queF(X) peut se mettre sous la forme

F(X) =A0(X) + 1

A1(X) + 1

A2(X) + B2(X) C2(X)

avec degB2(X)<degC2(X).

4) Montrer qu’il existe un ensemble fini de polynômes Ai(X) ∈K[X](06i6n) tels que

F(X) =A0(X) + 1

A1(X) + 1

A2(X) + 1

A3(X) +· · ·+ 1 An(X)

.

On admettra qu’une telle écriture est unique2. On parle alors du développement en fraction continue de F(X) .

5) Écrire un algorithme qui prend en entrée F(X) sous la forme P(X)/Q(X) et qui retourne le développement en fraction continue deF(X).

1Un nombre “très réduit” de congruences est suffisant.

2Les étudiants qui auront fini les sept exercices avant la fin de l’examen peuvent néanmoins prouver l’unicité, s’ils le désirent.

(3)

6)On poseK=Z/5Z. Trouver le développement en fraction continue deF(X)∈K[X]

F(X) = 2X5+X4+ 3X2+X+ 1 X3+ 2X+ 3 .

Exercice 6 – On note C le corps des complexes. Soit un entier n > 3 et soient z1, z2,. . .zn des éléments deCdeux à deux distincts.

1)On suppose que pour tout P ∈C[X]de degré < non a P(0) = 1

n

n

X

i=1

P(zi).

En utilisant les formules de Newton-Girard 3 calculer le polynôme Qn

i=1(X −zi) en fonction des sommes de Newton Sk (16k6n).

2) En déduire que, sous les mêmes hypothèses, les zi sont les sommets d’un polygone régulier centré en 0, i.e. que

{zi; 16i6n}={ae2iIπ/n; 16i6n}, où a∈C\{0}.

3)On suppose maintenant qu’il existez0 ∈Ctel que pour toutP ∈C[X]de degré< n on a

P(z0) = 1 n

n

X

i=1

P(zi).

Que peut-on dire deszi (06i6n) ? Justifier.

Exercice 7 – Trouver tous les couples(x, y)∈C2 vérifiant x2−y2+ 1 = 0

x3+xy2−y+ 1 = 0

3On rappelle que siSk=P

zik (k>1) et siσk=P

i1<i2<···<ikzi1zi2· · ·zik (16k6n) on a pour toutkvérifiant16k6n,Skσ1Sk−1+σ2Sk−2− · · ·+ (−1)k−1σk−1S1+ (−1)kσkk= 0.

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