Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques
Algorithmique algébrique 1 - Devoir surveillé
L’épreuve dure 90 minutes. Les documents sont interdits.
Exercice 1
Trouver tous les entiers n vérifiant
n≡17 mod 504 n≡ −4 mod 35 n ≡1 mod 16 . Exercice 2
Soitr un entier≥1. Soient p1;· · ·;pr des nombres premiers tels que2< p1 <
· · · < pr. On pose n = 2p1· · ·pr. Quel est le nombre de x ∈ {1;· · ·;n} vérifiant x2 ≡1 mod n? On pourra utiliser le théorème chinois.
Exercice 3
Soient p un nombre premier et r un entier naturel. On désigne par P l’en- semble des nombres premiers congrus à 1 modulo pr+1.
a. Soita un entier≥2tel quepne divise pas a−1. On poseΦ(a) =
p−1
X
k=0
aprk. Montrer que Φ(a) est congru à 1 modulo p.
b. Soit q un facteur premier de Φ(a). Déterminer l’ordre de a¯dans le groupe (Z/qZ)∗.
c.En déduire que q∈ P.
d. Montrer que P est infini ; on pourra raisonner par l’absurde et considérer a=pY
q∈P
q.
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