Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques
Algorithmique algébrique 1 - Feuille 6 Exercice 1
Soit n un entier ≥2.
a. Calculer dans Q[X] le reste de la division euclidienne de (X − 2)n par X2−4X+ 3.
b. Calculer dans Q[X] le reste de la division euclidienne deXn+X+ 1 par X2−2X+ 1.
c.Calculer dansQ[X]le reste de la division euclidienne de(X+ 1)n−Xn par X2+X+ 1.
Exercice 2
Soit P ∈R[X] de degré n≥ 1. Montrer que : P′ divise P si et seulement s’il existe(a;λ)∈R×R∗ tel que P =λ(X−a)n.
Exercice 3
PosonsP =X3−2X2+ 3X+ 1 et notons a, b, c les racines complexes de P. Calculer (X−a2)(X−b2)(X−c2).
Exercice 4
On poseP =X4+ 2X2−X−2etQ=X3+X−2. Trouver tous les couples (U;V)∈Q[X] vérifiantU P +V Q=X−1.
Exercice 5
Trouver toutes les racines réelles du polynômeX4+iX3−3X2−2iX+ 1−i.
Exercice 6
Soit P = Xn+a1Xn−1+· · ·+an ∈ C[X] unitaire de degré n ≥ 1. On pose MP = maxn
|ak|1/k ; k ∈ {1;· · ·;n}o
. Soitz une racine complexe deP. Montrer que|z| ≤2MP.
1
Exercice 7
Calculer dans Q(X) la décomposition en éléments simples de la fraction ra- tionnelle
X+ 2
X3−4X2+ 4X .
2
