ANNÉE UNIVERSITAIRE 2010/2011 Session 1 de Printemps
Parcours : Mathématiques et Informatique MHT63 UE MHT631 : Algorithmique algébrique 2
Responsable : M. Jean-Paul Cerri Date : 06/05/2011. Durée : 1h30.
Documents autorisés : notes de cours.
Exercice 1 – Soit n>2 un entier. On considère la matrice
Sn=
a1 −1 −1 · · · −1 −1
−1 a2 1 · · · 1 1
−1 1 a3 . .. 1 ... ... . .. ... ... ...
−1 1 . .. an−1 1
−1 1 1 · · · 1 an
∈Mn,n(R),
où a1 = 1 et ai =i2+ 1 pour 26i6n. En d’autres termes si Sn= (si,j)16i, j6n, on a
• s1,1 = 1;
• si,i=i2+ 1 pour 26i6n;
• s1,i=si,1 =−1 pour26i6n;
• si,j = 1 sinon.
1) Démontrer que Sn est symétrique définie positive.
2) Déterminer la décomposition de Cholesky de Sn. 3) Déterminer la décomposition LU de Sn.
4) Calculer l’inverse deS3.
5) On considère le système (S) : AX = B, où X ∈ R3 et où A ∈ M4,3(R) et B ∈R4 sont respectivement définis par
A=
2 −4 1 1 −1 −7 1 3 −1
0 2 3
et B =
−1
−6 3 6
.
Montrer que A est de rang 3 et que (S) n’a pas de solution.
6)On notek kla norme euclidienne deR3. Montrer qu’il existeX0 ∈R3 vérifiant kAX0−Bk= inf
X∈R3
kAX −Bk.
Déterminer X0 et calculer kAX0−Bk.
Exercice 2 – Soit a, b deux entiers naturels. On considère sur R[X] la forme bilinéaire définie par
hP, Qi= Z 1
−1
P(x)Q(x)(1−x)a(1 +x)bdx.
1) Rappeler brièvement pourquoi (P, Q)7→ hP, Qi est un produit scalaire.
On note (Pn)n>0 la famille de polynômes orthogonaux unitaires associée à ce produit scalaire.
2) On pose pour tout n >0, Qn(X) = 1
(1−X)a(1 +X)b dn dXn
(1−X)a(1 +X)b(1−X2)n .
Montrer que pour tout n, Qn est un polynôme de degré n.
3) Montrer que la famille(Qn)n>0 est orthogonale pour le produit scalaireh, i.
4) En déduire que pour tout n, il existe cn ∈ R\ {0} tel que Pn = cnQn puis calculer cn.
5) Pour n>2 on pose
Pn(X) = Xn+λnXn−1+µnXn−2+· · · . On sait que les Pn vérifient une relation de récurrence :
Pn(X) = (X−an)Pn−1(X)−bnPn−2
pourn >2, oùan, bn ∈R. Calculeran et bn en fonction de λn,µn, λn−1 et µn−1. 6) En déduire les valeurs de an et bn dans le cas particuliera =b = 1.
