Licence de mathématiques et informatique - 2010-2011
Algorithmique algébrique
FEUILLE D’EXERCICES N◦ 7
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1
1. Appliquer l’algorithme vu en cours pour calculer la décomposition en éléments simples de F = x3
(x−1)2(x+ 1) ∈Q(x).
2. Refaire cette décomposition avec une autre méthode de votre choix.
2
1. Faire la liste de tous les polynômes irréductibles de F2[x] de degré inférieur ou égal à 4.
2. Calculer la décomposition en éléments simples de F = x8+x7+x+ 1
x7+x3+x+ 1 ∈F2(x).
3 Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre4de3x3+x2+xpar x2+x+ 2.
4 Calculer la décomposition en éléments simples de F = x3
(x−1)2(x+ 1) ∈Q(x)
en effectuant une division suivant les puissances croissantes.
5 Soit
F = x5
(x−1)3(x2+ 1). 1. Montrer queF peut s’écrire sous la forme
F = 1 + a1
x−1 + a2
(x−1)2 + a3
(x−1)3 + bx+c x2+ 1.
2. En effectuant la division suivant les puissances croissantes à l’ordre2de(y+1)5 par(y+1)2+1, montrer qu’il existe un polynôme R2 tel que
x5
x2+ 1 = 1
2 + 2(x−1) + 11
4(x−1)2+ (x−1)3R2. En déduire la décomposition en éléments simples de F.
