Polynômes irréductibles sur F

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Polynômes irréductibles sur F

[FG], exercices 3.11 et 5.10 Théorème

Soitpun nombre premier etr∈_N^∗; on noteq= p^r, soitn∈_N^∗.

SoitA(n,q)l’ensemble des polynômes deFq[X]irréductibles unitaires de degrénetI(n,q) =#A(n,q). Alors :

1. On a la factorisation suivante dansFq[X]:X^qn−X =

∏

d|n

∏

P∈A(d,q)

P.

2. Notantµla fonction de Möbius¹, on a :I(n,q) = ¹ n

∑

d|n

µ

n

d

q^d.

3. On en déduit alors l’équivalent :I(n,q) ∼

n→_∞

qⁿ n.

Démonstration :

On commence bien évidemment par fixer une bonne fois pour toutes une clôture algébriqueFqdeFq, dans laquelle on travaillera tout le long de ce développement.

1. – Soitd|netP∈ A(d,q); fixonsxune racine dePdansFq.

AlorsK := Fq(x)est un corps de rupture dePet[K : Fq] = degP = det donc, par unicité des corps finis :K=F_qd.

CommeF_qd est l’ensemble des racines deX^qd−Xet que ce polynôme diviseX^qn−X,xest racine deX^qn−X.²

Donc P

X^qn−X, carPétant irréductible sur un corps fini, il est à racines simples dansFq.³ Puis, par irréductibilité, on en déduit :





∏

d|n

∏

P∈A(d,q)

P





X^qn−X. – SoitPun facteur irréductible deX^qn−X, de degréd>1.

CommeX^qn−Xest scindé surFqⁿ,Pl’est aussi.

Soitxracine deP, qui est donc dansFqⁿ;K:=_Fq(x)est un corps intermédiaire entreFqetFqⁿ. On a alors :[_Fqn :K][K:Fq] = [_Fqn :Fq] =net doncd= [K:Fq]divisen.

1. Pourk∈_N^∗, on définitµparµ(k) =0 sikpossède un facteur carré etµ(k) = (−1)^rsinon, oùrdésigne alors le nombre de facteurs premiers distincts dek.

2. En effet,x^qn=x(q^d)^nd =x^qd(q^d)^nd−1=x^qd(q^d)^nd−1

=x(q^d)^nd−1=. . .=x(q^d)⁰=x.

3. Démontrons ce fait général : Lemme

SiKest un corps fini ou de caractéristique nulle, et siP∈K[X]est un polynôme irréductible, AlorsPest à racines simples dans la clôture algébriqueKdeK.

En effet, soitαune racine multiple deP, alors∃Q∈K[X],P= (X−α)²Q.

En dérivant, on obtient ensuiteP⁰= (X−α)(2Q+ (X−α)Q⁰), donc(X−α)|P⁰dansK[X]. Et finalement,(X−α)|P∧P⁰dansK[X].

OrP∧P⁰|PdansK[X]et degP∧P⁰>1, donc, par irréductibilité deP, on a :P=P∧P⁰, et comme degP⁰<degP:P⁰=0.

SiKest de caractéristique nulle, alorsPest une constante donc nul ou inversible donc non-irréductible. On a donc une contradiction dans ce cas.

Sinon,Kest de caractéristiquep>_{0 et}P∈ K[X^p], d’oùP(X) =R(X^p) =R(X)^p_{, avec}R∈ K[X], car le morphisme de Frobenius est un automorphisme quand le corps est fini.

Pour terminer sur ce sujet, citons un contre-exemple sur un corps infini de caractéristique positive.

SoitP=T²+X∈_F2(X)[T].

Pest irréductible, car il n’admet pas de racine dansF2(X)(pour des problèmes de parité) et qu’il est de degré 2.

Padmet une racineα=√

−X∈_F2(X)et doncP= (T−α)(T+α) = (T−α)²carF2(X)est un corps de caractéristique 2.

Florian LEMONNIER 1

Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1

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Les racines deX^qn−XdansFqⁿsont simples donc tous les facteurs irréductibles deX^qn−Xdans Fq[X]interviennent avec une multiplicité égale à 1.

Ainsi X^qn−X





∏

d|n

∏

P∈A(d,q)

P



.

– Les deux polynômes considérés étant unitaires, on en déduitX^qn−X=

∏

d|n

∏

P∈A(d,q)

P.

2. Lemme (Formule d’inversion de Möbius) Soit f :N^∗→_Retg:

N^∗ → R

n 7→ _∑d|n f(d) ^. Alors∀n∈_N^∗,f(n) =

∑

d|n

µ n

d

g(d) =

∑

d|n

µ(d)gn d

.

Démonstration : Soitn∈N^∗, on a :

∑

d|n

µ(d)gn d

=

∑

d|n

∑

d⁰|ⁿ_d

µ(d)f(d⁰) =

∑

dd⁰|n

µ(d)f(d⁰) =

∑

d⁰|n

f(d⁰)





∑

d|_dⁿ0

µ(d)



.

Soit désormaisk∈_N^∗,k>1.

On écritk= p^α₁¹. . .pr^αr sa décomposition en facteurs premiers, avecr>0.

On a ensuite :

∑

d|k

µ(d) =µ(1) +

∑

i=1

∑

16γ1<...<γ_i6r

µ(pγ₁. . .pγ_i) +0=

∑

r i

(−1)ⁱ = (1−1)^r =0.

Et sik=1,

∑

d|1

µ(d) =µ(1) =1, ce qui nous donne donc

∑

d|n

µ(d)gn d

= f(n).

En regardant les degrés dans la factorisation précédente, on obtient :qⁿ=

∑

d|n

dI(d,q). En appliquant la formule d’inversion de Möbius à la fonction f :n7→nI(n,q), on obtient :

∀n∈_N^∗,nI(n,q) =

∑

d|n

µ n

d q^d.

3. On posern=

∑

d|n d<n

µ n

d

q^det alors :|rn|6 bⁿ₂c

i=1

∑

q^d=qqbⁿ₂c −1

q−1 =On→∞

qbⁿ₂c_.

Doncrnest négligeable devantqⁿ, d’où :I(n,q) = ^q

n+rn

n ∼

n→∞

qⁿ n.

Références

[FG] S. FRANCINOUet H. GIANELLA–Exercices de mathématiques pour l’agrégation (Algèbre 1), 2^ème éd., Masson, 1997.

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Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1