Polynômes irréductibles

Polynômes irréductibles

Exercice 1. Factorisation surRdeX⁸+X⁴+ 1 Factoriser X⁸+X⁴+ 1 surR.

Exercice 2. Polynôme irréductible surQ

Démontrer que 1 + (X−1)²(X−3)² est irréductible dansQ[X].

Exercice 3. Polynômes positifs surR

SoitE={P∈R[X] tq∃Q, R∈R[X] tqP =Q²+R²}.

1) Montrer queE est stable par multiplication.

2) Montrer queE={P ∈R[X] tq∀x∈R,P(x)>0}.

3) (Centrale MP 2000, avec Maple)P = 65X⁴−134X³+ 190X²−70X+ 29. TrouverAetB dansZ[X] tels queP =A²+B².

Exercice 4. Lemme de Gauss

SoitP ∈Z[X]. On appellecontenu deP le pgcd des coefficients deP (notation : cont(P)).

1) SoientP, Q∈Z[X] avec cont(P) = 1, etR=P Q. Soitpun facteur premier de cont(R).

a) Sipest premier avec le coefficient constant deP, Démontrer quepdivise tous les coefficients deQ.

b) Sipdivise le coefficient constant deP, se ramener au cas précédent.

c) En déduire que cont(Q) = cont(R).

2) Lorsque cont(P)6= 1, trouver cont(P Q).

3) Application : SoitR ∈Z[X], et P, Q ∈Q[X] tels queR =P Q. Montrer qu’il existeP₁, Q₁ ∈Z[X] proportionnels àP etQet tels queR=P1Q1(cad : un polynôme à coefficients entiers réductible sur Qest aussi réductible sur Z.)

Exercice 5. Polynômes irréductibles surZ

Démontrer queX⁴+X+ 1 etX⁶+X²+ 1 sont irréductibles dansZ[X].

Exercice 6. Polynômes irréductibles surZ Soient a1, . . . , an ∈Zdistincts.

1) Montrer que (X−a1). . .(X−an)−1 est irréductible dansZ[X].

2) Même question avec (X−a1). . .(X−an) + 1,nimpair.

Exercice 7. Critère d’irréductibilité d’Eisenstein

SoitP ∈Z[X],P =Xⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+. . .+a₀X⁰ etpun nombre premier tel que : a₀≡0 (modp),. . ., a_n−1≡0 (modp),a₀6≡0 (modp²). Montrer queP est irréductible dansZ[X].

Exercice 8. Irréductibilité deX^p−a

Soit Kun sous-corps deC, a∈ Ket p∈N premier. Montrer que le polynômeX^p−aest irréductible sur Ksi et seulement s’il n’a pas de racine dans K. Indication : si X^p−a = P Q avec P, Q ∈ K[X] unitaires non constants, factoriser P dansCet considérerP(0).

Exercice 9. Polynômes sans facteur carré

Soit Kun corps fini de cardinal k et d∈N^∗. On note Ud l’ensemble des polynômes deK[X] unitaires de degré d et Vd le sous-ensemble des ces polynômes sans facteur carré (il n’existe pas Q ∈K[X] non constant tel queQ²divise le polynôme considéré). Soientud,vd les cardinaux de ces ensembles.

1) Montrer : ud=P

2q+r=duqvr. 2) Calculerud puisvd.

irreduc.tex – mercredi 1er juin 2016

solutions Exercice 1.

(X²−X+ 1)(X²+X+ 1)(X²−X√

3 + 1)(X²+X√ 3 + 1).

Exercice 2.

racines : α= 2 + s√

2 + 1 2 +i

s√ 2−1

2 ,β = 2− s√

2 + 1 2 −i

s√ 2−1

2 ,¯α,¯β.

Factorisation deP surR: P = (X²−2<(α)X+|α|²)(X²−2<(β)X+|β|²) et les facteurs sont irrationnels.

Exercice 3.

1) P=|Q+iR|². 2) FactoriserP.

3) Avec Maple : P = ₆₅¹QQavec Q= 65X²+ (49i−67)X+ (42 + 11i) etQ est irréductible sur Q[i].

Donc siP =A²+B²= (A+iB)(A−iB) avecA, B polynômes à coefficients entiers alors, quitte à changerB en−B, il existe λ∈Q[i] tel que : A+iB=λQet A−iB =¯λQd’où :

2A= 65(λ+¯λ)X²+ ((49i−67)λ−(49i+ 67)¯λ)X+ ((42 + 11i)λ+ (42−11i)¯λ) 2iB= 65(λ−¯λ)X²+ ((49i−67)λ+ (49i+ 67)¯λ)X+ ((42 + 11i)λ−(42−11i)¯λ)

λ¯λ= 65.

En particulier 65λ∈Z[i], écrivonsλ= u+iv

65 avecu, v∈Z: A=uX²−67u+ 49v

65 X+42u−11v 65 B =vX²+49u−67v

65 X+11u+ 42v 65 u²+v²= 65.

67u+ 49vest divisible par 65 si et seulement siu≡8v(mod 65) et dans ce cas les autres numérateurs sont aussi multiples de 65. La conditionu²+v²= 65 donne alorsv=±1, u=±8 d’où :

A=±(8X²−9X+ 5), B =±(X²+ 5X+ 2).

Exercice 6.

1) SiP =QRalorsQ(a_i)R(a_i) =−1⇒Q(a_i) =−R(a_i) =±1, doncQ+Ranracines, donc est nul, et P=−Q²: contradiction pourx→ ∞.

2) Même raisonnement : P=Q², doncQ²−1 = (Q−1)(Q+ 1) = (X−a₁). . .(X−an).

On répartit les facteurs entreQ−1 etQ+ 1 : n= 2p, contradiction.

Exercice 7.

SoitP =QRavecQ=Xⁿ¹+bn₁−1Xⁿ¹⁻¹+. . .+b0X⁰ etR=Xⁿ²+cn₂−1Xⁿ²⁻¹+. . .+c0X⁰. Par hypothèse sur a0 = b0c0, p divise un et un seul des entiers b0, c0. Supposons que p divise b₀, b₁, . . . , b_k−1 : alors a_k ≡ b_kc₀(modp) donc p divise b_k. On aboutit à «pdivise le coefficient dom- inant deQ», ce qui est absurde.

Exercice 8.

On supposea6= 0 etX^p−a=P QavecP, Q∈K[X] unitaires non constants. Soitn= deg(P)∈[[1, p−1]]

etb= (−1)ⁿP(0)∈K. best le produit de certaines racinesp-èmes dea, doncb^p=aⁿ. De plusn∧p= 1 ; soitnu+pv= 1 une relation de Bézout. On a alorsb^pu=a^nu=a^1−pv d’oùa= (b^u/a^v)^pdoncb^u/a^v∈K est racine de X^p−a.

Exercice 9.

1) Tout polynômeP unitaire de degrédse décompose de manière unique enP=Q²RavecQ, Runitaires etRsans facteur carré.

2) On aud =k^d etud+2=kud+vd+2, d’oùv0= 1, v1=k,vd=k^d−k^d−1 sid>2.

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