116 – Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. E&A.

Noter que Q est d´enombrable car Q[X] l’est (c’est la r´eunion pour n ∈ N des polynˆomes de Q[X] de degr´e au plus n), et chaque polynˆome non nul de Q[X] n’a qu’un nombre

Montrer que l’ensemble A ∗ des éléments inversibles d’un anneau A peut être muni d’une structure de groupe..

Montrer que l’ensemble des éléments inversibles d’un anneau peut être muni d’une structure de groupe..

Deux corps de rupture d’un polynˆ ome irr´ eductible sont isomorphes ` a un unique isomor- phisme de corps pr` es.. Deux corps de d´ ecomposition d’un polynˆ ome

Faux si le polynôme n’est pas irréductible (chaque facteur irréductible donne un corps de rupture de degré égal au degré du facteur), vrai sinon (tous les corps de rupture sont

Si ces lois sont bien d´efinies (c’est `a dire que ne d´ependent pas des repr´esentants choisis de x et y, on dit que R est com- patible avec la structure d’anneau. de groupe pour

(iii) ⇒ (i) : supposons que tout ensemble non vide d’idéaux de A possède un élément maximal pour l’inclusion et soit I un idéal de A. ϑ est non vide car il contient {0} donc

Soit f€F^[x](où est le corps fini ayant q éléments) un polynôme irréductible tel que f(O) ^ 0 ; on appelle exposant de f l'ordre e(f) d'une racine de f dans SF^ deg(f) (cf.[l]).