Corps de rupture et corps de d´ecomposition

L3 – Alg` ebre 2 2013–2014 : TD 2

Corps de rupture et corps de d´ ecomposition

Exercice 1. Calculer les corps de rupture et les corps de d´ ecomposition des polynˆ omes suivants sur Q, et donner leurs degr´ es :

1. X

+ 7 2. X

− 2 3. X

− 11 4. X

+ 1 5. X

− 1 6. X

+ 2 7. X

− 2 8. X

+ X

+ 1 9. X

− 5X

+ 6

10. X

− 1, o` u p est un nombre premier Exercice 2. (Vrai ou faux)

Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses, et justifier la r´ eponse par un contre- exemple ou une d´ emonstration.

1. Deux corps de rupture d’un polynˆ ome P sont isomorphes.

2. Deux corps de rupture d’un polynˆ ome irr´ eductible sont isomorphes ` a un unique isomor- phisme de corps pr` es.

3. Deux corps de d´ ecomposition d’un polynˆ ome sont isomorphes.

4. Deux corps de d´ ecomposition d’un polynˆ ome sont isomorphes ` a un unique isomorphisme pr` es.

5. Le corps de rupture d’un polynˆ ome irr´ eductible est isomorphe ` a son corps de d´ ecomposition.

6. Il existe une fonction f telle que le degr´ e de l’extension du corps de d´ ecomposition de tout polynˆ ome P soit major´ e par f (deg(P)).

Exercice 3. (Extensions quadratiques)

1. Soit P un polynˆ ome de degr´ e 2 sur un corps K. Montrer que son corps de rupture et son corps de d´ ecomposition co¨ıncident, et que c’est une extension de degr´ e 2 (quadratique).

2. Montrer que toute extension quadratique est le corps de rupture d’un polynˆ ome de degr´ e 2.

3. Soit L/K une extension quadratique, o` u la caract´ eristique de K est diff´ erente de 2.

Montrer qu’il existe un ´ el´ ement α ∈ L non nul tel que α

∈ K et L = K(α). Montrer que si β ∈ L v´ erifie aussi ces propri´ et´ e, alors β/α ∈ K.

Exercice 4. (Un nombre de degr´ e 4 qui n’est pas constructible)

Soient P le polynˆ ome X

+ X + 1 et x une racine de P dans C. Le but de l’exercice est de

montrer que x n’est pas constructible.

1. Montrer que P est irr´ eductible dans Q[X].

2. Supposons par l’absurde que x est constructible. Montrer qu’il existe une extension finie constructible de Q dans laquelle P est produit de deux polynˆ omes de degr´ e 2.

3. Montrer que parmi les coefficients de ces deux polynˆ omes on trouve une racine de Q(X) = X

− 4X

− 1

4. Montrer qu’alors dans Q[X], Q poss` ede un facteur de degr´ e 2. Montrer qu’il est de la forme X

+ t, o` u t ∈ Z.

5. Conclure.

Exercice 5. (Corps ` a huit, neuf et seize ´ el´ ements)

On se propose dans cet exercice de construire tous les corps ` a 9 et 16 ´ el´ ements qui peuvent ˆ etre obtenus comme corps de rupture de polynˆ omes irr´ eductibles sur F

et F

.

1. Donner tous les polynˆ omes irr´ eductibles de degr´ e inf´ erieur ` a 4 sur F

et F

.

2. Dresser les tables de multiplication des corps F

et F

obtenus comme quotients par les polynˆ omes irr´ eductibles de la question pr´ ec´ edente.

3. Donner un isomorphisme explicite entre les corps ainsi obtenus.

4. Dans chacun des corps obtenus, dire si l’´ el´ ement primitif canonique est un g´ en´ erateur du groupe K

.

5. Montrer que F

est cyclique en en exhibant un g´ en´ erateur.

6. D´ emontrer que tous les ´ el´ ements de F

sont alg´ ebriques sur F

et donner leur polynˆ ome minimal.

7. Reprendre ces trois derni` eres questions pour une extension F

/F

de degr´ e 4.

Exercice 6. (Clˆ oture quadratique)

On dit qu’un corps L est quadratiquement clos si tout polynˆ ome de degr´ e 2 ` a coefficients dans L poss` ede une racine dans L. Si L/K est une extension, on dit que L est une clˆ oture quadratique s’il est quadratiquement clos et que toute sous-extension K ⊂ L

⊂ L ne l’est.

1. Montrer que tout corps poss` ede une clˆ oture quadratique et qu’elle est unique ` a isomor- phisme pr` es.

2. D´ ecrire la clˆ oture quadratique de Q, R et C.

3. D´ ecrire la clˆ oture quadratique d’un corps fini.