Alg` ebre de d´ ecomposition d’un polynˆ ome unitaire

Alg` ebre de d´ ecomposition d’un polynˆ ome unitaire

Soit K un anneau (commutatif unitaire), disons non nul.

Soit P un polynˆome de K[X], unitaire de degr´e n ≥1 :

P = Xⁿ−a₁Xⁿ⁻¹+a₂Xⁿ⁻²+. . .+ (−1)^ka_kX^n−k+. . .+ (−1)ⁿa_n (avec donc a_k∈K pour tout k, 1≤k ≤n).

On consid`ere l’anneauK[X₁, X₂, . . . , X_n] des polynˆomes, ennind´etermin´ees,

`

a coefficients dans K; on note S₁, S₂, . . . , S_n les “fonctions sym´etriques”

des X_i. Ces S_i sont des ´el´ements deK[X₁, X₂, . . . , X_n] d´efinis par l’´egalit´e

n

Y

i=1

(X−X_i) = Xⁿ−S₁Xⁿ⁻¹+S₂Xⁿ⁻²+. . .+ (−1)^kS_kX^n−k+. . .+ (−1)ⁿS_n dans K[X1, X2, . . . , Xn][X]. En clair, on a :

S₁ =

n

X

i=1

X_i, S₂ = ^X

1≤i<j≤n

X_iX_j, . . . , S_n=

n

Y

i=1

X_i .

On note I_P l’id´eal de l’anneau K[X₁, X₂, . . . , X_n] engendr´e par les n po- lynˆomes S₁−a₁, S₂−a₂, . . . , S_n−a_n.

On note enfin E_P l’anneau quotientK[X₁, X₂, . . . , X_n]/I_P. L’homomorphisme d’anneaux compos´e K → K[X1, X2, . . . , Xn] → EP, disons ι, fait de EP

une K-alg`ebre. Cette K-alg`ebre s’appelle l’alg`ebre de d´ecomposition de P. Les deux propositions ci-apr`es, dont la v´erification est laiss´ee au lecteur, expliquent cette terminologie.

Proposition 1.Soient ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n les ´el´ements deE_P images des ´el´ements X₁, X₂, . . . , X_n de K[X₁, X₂, . . . , X_n]. On a dans E_P[X] l’´egalit´e

ιP =

n

Y

i=1

(X−ξ_i)

(la notation ιP d´esigne le polynˆome Xⁿ−ι(a₁)Xⁿ⁻¹ +. . .+ (−1)ⁿι(a_n) de E_P[X]).

1

Proposition 2. Soit λ : K → L un homomorphisme d’anneaux (L est donc naturellement une K-alg`ebre). On suppose qu’il existe des ´el´ements α1, α2, . . . , αn de L tels que l’on a l’´egalit´e

λP =

n

Y

i=1

(X−α_i)

dans L[X] (la notation λP d´esigne le polynˆome Xⁿ − λ(a1)Xⁿ⁻¹ +. . .+ (−1)ⁿλ(a_n)deL[X]). Alors il existe un unique homomorphisme deK-alg`ebres φ : E_P → L avec φ(ξ_i) =α_i (les ´el´ements ξ_i sont introduits dans la proposi- tion 1).

Proposition 3. La K-alg`ebre E_P est un K-module libre de dimension n!; le sous-ensemble de E_P constitu´e des ´el´ements ^Qn_i=1ξ_i^ei avec e_i +i ≤ n en est une base (les ´el´ements ξ_i sont introduits dans la proposition 1, en clair les ´el´ements ^Qn_i=1ξ_i^ei sont les classes modulo I_P des monˆomes ^Qn_i=1X_i^ei de K[X₁, X₂, . . . , X_n]).

On observe que l’´el´ement 1 de EP appartient `a la base qui apparaˆıt dans l’´enonc´e ci-dessus (1 =^Qn_i=1ξ_i⁰). Soitλ un ´el´ement de K; comme l’image du couple (λ,1) par l’application K×E_P → E_P, qui fait de E_P un K-module, est ι(λ), la proposition 3 implique en particulier l’´enonc´e ci-dessous.

Corollaire 4. L’homomorphisme d’anneaux ι:K →E_P est injectif.

D´emonstration de la proposition 3. On proc`ede par r´ecurrence sur n. Le cas n = 1 est trivial ; on se concentre donc sur le pas de r´ecurrence.

Lemme 5. L’´el´ement P(X₁) de K[X₁, X₂, . . . , X_n] appartient `a l’id´ealI_P. D´emonstration. Par d´efinition de I_P on a

P(X₁) ≡ X₁ⁿ−S₁X₁ⁿ⁻¹+. . .+ (−1)ⁿS_n mod I_P . Or le second membre de cette congruence est nul (il est ´egal au produit

Qn

i=1(X₁−X_i)).

L’id´ealK[X₁, X₂, . . . , X_n]P(X₁) deK[X₁, X₂, . . . , X_n] est donc contenu dans l’id´eal I_P.

La v´erification des deux propositions suivantes est laiss´ee au lecteur.

2

Proposition 6. Soient A un anneau et I, J deux id´eaux de A avec J ⊂I.

(a) L’image de I dans l’anneau A/J, disons I, est un id´¯ eal.

(b) L’homomorphisme d’anneaux canonique A/J → A/I induit un isomor- phisme du quotient de A/J par I¯sur A/I.

Proposition 7. L’anneau quotient

K[X₁, X₂, . . . , X_n]/ K[X₁, X₂, . . . , X_n]P(X₁) est canoniquement isomorphe `a l’anneau de polynˆomes

(K[X₁]/P(X₁))[X₂, . . . , X_n] ,

en les ind´etermin´ees X₂, . . . , X_n, `a coefficients dans l’anneau K[X₁]/P(X₁).

On d´ecrit maintenant le pas de r´ecurrence de la d´emonstration de la propo- sition 3.

On poseL:=K[X₁]/P(X₁) ; commeP est unitaire, l’homomorphisme d’an- neaux canoniqueK →Lest injectif si bien que l’on peut identifierK avec un sous-anneau de L. On note ρ la classe de X₁ dans L (on a donc P(ρ) = 0) ; on a dans L[X] la factorisation P = (X−ρ)Q avec

Q = Xⁿ⁻¹+ (ρ−a₁)Xⁿ⁻²+ (ρ²−a₁ρ+a₂)Xⁿ⁻³+. . .

. . .+ (ρⁿ⁻¹−a₁ρⁿ⁻²+a₂ρⁿ⁻³+. . .+ (−1)ⁿ⁻¹an−1) (pour s’en convaincre, observer par exemple que l’on dans L[X] l’´egalit´e P = (Xⁿ−ρⁿ)−a₁(Xⁿ⁻¹−ρⁿ⁻¹) +. . .+. . .(−1)ⁿ⁻¹an−1(X −ρ)). Le pas de r´ecurrence de la proposition 3 utilise essentiellement l’´enonc´e suivant : Proposition 8. La K-alg`ebre EP est canoniquement isomorphe `a la K- alg`ebre sous-jacente `a la L-alg`ebre E_Q.

D´emonstration.Compte tenu des ´enonc´es 6 et 7, l’anneau E_P est le quotient de l’anneau L[X₂, . . . , X_n] par l’id´eal γ(I_P), γ d´esignant l’homomorphisme d’anneaux canonique de K[X₁, X₂, . . . , X_n] dans L[X₂, . . . , X_n]. Il reste `a se convaincre de ce que l’on a γ(I_P) = I_Q.

On note T₁, T₂. . . , Tn−1 les ´el´ements deK[X₂, . . . , X_n] d´efinis par l’´egalit´e

n

Y

i=2

(X−Xi) = Xⁿ−T1Xⁿ⁻¹+T2Xⁿ⁻²+. . .+ (−1)ⁿ⁻¹Tn−1

dansK[X₂, . . . , X_n][X] ; on observera que cesT_i peuvent aussi ˆetre consid´er´es comme des ´el´ements deK[X₁, X₂, . . . , X_n] ou de L[X₂, . . . , X_n].

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Le lecteur pourra se convaincre de l’´egalit´e γ(I_P) = I_Q en contemplant les identit´es

T_m =

m

X

k=0

(−1)^kS_m−kX₁^k , m variant de 1 `a n, avec les conventions T_n= 0 et S₀ = 1.

Le lecteur pourra se convaincre de ces identit´es par la m´ethode sugg´er´ee plus haut pour obtenir l’expression de Q. Pr´ecisons un peu. Soit Π le polynˆome

Qn

i=1(X−X_i) de K[X₁, X₂, . . . , X_n][X] ; on a Π = Π−Π(X₁) =

(Xⁿ−X₁ⁿ)−S₁(Xⁿ⁻¹−X₁ⁿ⁻¹) +. . .+. . .(−1)ⁿ⁻¹Sn−1(X−X₁) , on en d´eduit l’expression du quotient de Π parX−X1c’est-`a-dire du produit

Qn

i=2(X−X_i).

Fin de la d´emonstration de la proposition 3.

Par hypoth`ese de r´ecurrence EQest unL-module libre de dimension (n−1)! ; puisque L est un K-module libre de dimension n, E_Q est bien un K-module libre de dimension n!.

Soientη2, . . . , ηnles images deX2, . . . , Xndans EQ. Le fait que{1, ρ, . . . , ρⁿ⁻¹} est une base de L commeK-module et l’hypoth`ese de r´ecurrence entraˆınent que le sous-ensemble de E_Q constitu´e des ´el´ementsρ^eQn_i=2η_i^ei avece+ 1≤n et ei+i≤n est une base de EQ comme K-module.

On ach`eve en constatant que l’isomorphisme de la proposition 8 envoie bien ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n surρ, η₂, . . . , η_n.

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