4 Polynˆ ome d´ eriv´ e

(1)

Polynˆ omes

Dans ce chapitre,Kd´esigneR ouC.

1 Polynˆ omes

D´efinition 1.0.1 – On appelle polynˆome sur K une expression de la forme

anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a2X² +a1X+a0, où les ai sont des éléments de K (appelés coefficients) etX est l’indéterminée.

L’ensemble des polynˆomes sur Kest not´e K[X].

Un exemple de polynˆome surRest X⁵−X³+ 5X²+√

8X−7/3.

D´efinitions 1.0.2 – SoitP =anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a2X²+a1X+a0 un polynˆome.

• Sous cette forme, il est dit ordonn´e suivant les puissances d´ecroissantes.

• Sous la forme a0 +a1X+· · ·+an−1Xⁿ⁻¹ +anXⁿ, il est dit ordonn´e suivant les puissances croissantes.

• La valeur n est appelée degré de P ; on note : deg(P) = n. (Par convention, le polynôme nul est de degré−∞.)

• La valeur an est le coefficient dominant de P.

• Lorsque an= 1, le polynˆome est dit unitaire.

• Lorsque n= 0, le polynˆome est dit constant.

Les polynômes s’ajoutent, se soustraient, se multiplient, s’élèvent à une puissance, se composent, selon les règles de calcul usuelles pour donner de nouveaux polynômes.

En revanche, le quotient de deux polynômes n’est pas, en général, un polynôme.

Un polynˆome est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

29

(2)

30 CHAPITRE 2. POLYN ˆOMES

Proposition 1.0.3 – Soient P et Q deux polynˆomes. On a alors :

deg(P +Q)≤max(deg(P),deg(Q)) deg(P Q) = deg(P) + deg(Q).

La d´emonstration est laiss´ee au lecteur.

Exercice– D´eterminer le degr´e de P +Q,P +R etQR dans le cas suivant : P(X) =X³−X²+ 2X+ 4 Q(X) =X²−1 R(X) =−X³+ 1.

2 Division euclidienne

Théorème 2.0.4 – Soient AetB deux polynômes deK[X], avecB non nul. Il existe un unique polynôme Q et un unique polynôme R dans K[X]tels que :

A=QB+R deg(R)<deg(B).

N.B.: LorsqueR = 0, on dit que B divise A, que A est divisiblepar B, ou que B est un diviseur deA.

D´emonstration –

• Existence

- Si deg (A)<deg (B), on peut prendreQ= 0 et R=A.

- Si deg (A)≥deg (B), on note Q₁ = an

bm

X^n−m le quotient des termes de plus haut degr´e. En posant A₁ =A−B Q₁ , on a deg (A₁)<deg (A).

– si deg (A₁)<deg (B), on peut prendre Q=Q₁ etR=A₁.

– si deg (A1)≥deg (B), on recommence avec A1 etB : on obtient Q2 et A2, et deg (A₂)<deg (A₁).

- si deg (A₂)<deg (B), on peut prendre Q=Q₁+Q₂ etR=A₂. - si deg (A₂)≥deg (B), on recommence . . .

Puisque la suite de degrés deg(A)>deg(A1)>deg(A2)>· · · est une suite strictement décroissante de nombres entiers, il n’y a qu’un nombre finikd’étapes, on peut prendreQ=Q₁+· · ·+Q_k et R=A_k

N.B.: avant d’effectuer une division euclidienne, toujours vérifier que les deux polynômes sont ordonnés suivant les puissances décroissantes. 2

• Unicit´e

Supposons que A =QB+R = ˜QB+ ˜R, où les degrés de R et ˜R sont strictement inférieurs à celui deB. On en tire :

R−R˜ = ( ˜Q−Q)B et deg(R−R)˜ <deg(B).

Par l’absurde : si Q 6= ˜Q, alors deg(( ˜Q−Q)B) = deg( ˜Q−Q) + deg(B) ≥deg(B), ce qui est contradictoire.

Donc Q= ˜Q, d’o`u QB+R= ˜QB+ ˜R=QB+ ˜R, d’o`uR= ˜R. 2

(3)

Exemple : Division deX³+ 2X²+X+ 1 parX²+ 1

X³ + 2X² + X + 1 X²+ 1

− X³ − X X+ 2

2X² + 1

− 2X² − 2

− 1

Le r´esultat s’´ecrit : X³+ 2X²+X+ 1 = (X²+ 1)(X+ 2)−1.

Quotient : X+ 2, reste : −1.

Exercice– Effectuer la division euclidienne de AparB dans les cas suivants : A=X⁴−2X²−X+ 1, B=X²+X ;

A=X⁶+ 4X⁴−X²+ 1, B =X²+ 1.

3 Fonctions polynomiales

D´efinition 3.0.5 – On appelle fonction polynomiale sur Ktoute fonction Pe:K−→K:x7→a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₂x²+a₁x+a₀.

Le polynôme anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a2X²+a1X+a0 est appelépolynôme associé à la fonctionPe.

Remarques :

1. Ne pas confondre la variablexde la fonction polynomialePe et l’indéterminéeX du polynôme associé.

2. Par abus de langage, on confond parfois les notations P et Pe. Entre autre pour a∈K, on noteP(a) la valeur prise par la fonctionPe au point a.

Proposition 3.0.6 Le reste de la division euclidienne d’un polynôme P parX−α est le polynôme constant égal à P(α).

D´emonstration –

• La division euclidienne de P parX−α s’´ecrit :

P(X) =Q(X)·(X−α) +R(X) avec deg(R)<1.

Puisque deg(R)<1, le polynˆome R est une constantec etP(α) =c. 2

4 Polynˆ ome d´ eriv´ e

Définition 4.0.7 – Soit P(X) =anXⁿ+· · ·+a1X+a0 un polynôme sur K. On appelle polynôme dérivéde P le polynôme :

P⁰(X) =nanXⁿ⁻¹+ (n−1)an−1Xⁿ⁻²+· · ·+ 2a2X+a1 =

n−1

X

i=0

(i+ 1)ai+1Xⁱ. On note P⁰⁰, P⁰⁰⁰, P⁽⁴⁾, . . ., P^(k) la suite des polynômes dérivés successifs. On pose enfin P⁽⁰⁾ =P.

(4)

Nous admettons que les propriétés usuelles des dérivées s’appliquent aux polynômes

5 Racines

D´efinition 5.0.8 – Soit P ∈K[X]. On dit que α ∈K est une racine (ou un z´ero) de P lorsqueP(α) = 0.

Théorème 5.0.9 – Soit P ∈K[X]. Un élément α de K est racine de P si, et seulement si,P est divisible parX−α.

D´emonstration –

• D’apr`es la proposition 3.0.6 P(X) =Q(X) (X−α) +P(α) Par cons´equentP(X) est divisible par X−α si, et seulement si,P(α) = 0. 2

Exercice– SoitP le polynˆome surRd´efini par P(X) =X³−X²−3X+ 3.

1) D´eterminer une racine ´evidente deP.

2) En déduire une expression deP sous la forme d’un produit d’un polynôme de degré 1 par un polynôme de degré 2.

3) En d´eduire l’ensemble des racines deP.

D´efinition 5.0.10 – Soit P ∈K[X], soit α∈K. On dit que α est une racine d’ordre r, oude multiplicit´er, deP si P(X) = (X−α)^rQ(X) avec Q(α)6= 0.

Lorsquer = 1, on dit que la racine est simple.

Lorsquer = 2, on dit que la racine est double.

Théorème 5.0.11 – Soit P ∈ K[X]. La racine α ∈ K de P est de multiplicité r si et seulement si, pour toutk entre 0 et r−1,P^(k)(α) = 0 et P^(r)(α)6= 0 .

D´emonstration –

• Si αest racine de multiplicit´e r, alorsP(X) = (X−α)^rQ(X) avec Q(α)6= 0.

En d´erivant, on obtient :

P⁰(X) =r(X−α)^r−1Q(X)+(X−α)^rQ⁰(X)) = (X−α)^r−1(rQ(X) + (X−α)Q⁰(X)), de la forme (X−α)^r−1Q₁(X) avecQ₁(α)6= 0 .

Donc, lorsquer >1,P⁰(α) = 0 . En it´erant la d´erivation, on obtient :

pour toutk < r,P^(k)(X) est de la forme (X−α)^r−kQk(X) avecQk(α)6= 0 . Donc lorsque k < r,P^(k)(α) = 0

P^(r)(X) est de la formeQr(X) avec Qr(α)6= 0 et doncP^(r)(α)6= 0.

• R´eciproquement, supposonsP(α) =P⁰(α) =· · ·=P^(r−1)(α) = 0 et P^(r)(α)6= 0.

Soit sla multiplicité de α. D’après la démonstration directe :

– si s > r alors, on auraitP^(r)(α) = 0, ce qui est contraire aux hypoth`eses.

– si s < r alors, on auraitP^(s)(α)6= 0, ce qui est contraire aux hypoth`eses.

(5)

Donc s=r etα est de multiplicit´er. 2

Théorème 5.0.12 Théorème de D’Alembert(admis)

DansC[X], tout polynˆome non constant admet au moins une racine.

Corollaire 5.0.13 Tout polynômeP, de degrén≥1, deC[X]admet exactementnracines complexes (comptées avec leur ordre de multiplicité).

D´emonstration: par r´ecurrence surn–

• Initialisation : si n= 1, le r´esultat est imm´ediat.

• Hérédité : supposons que tout polynôme de degrén−1 deC[X] admette exactement n−1 racines complexes.

Si P est un polynôme de degrén, d’après le théorème de D’Alembert, il admet au moins une racine α.

Il existe donc Q, de degré n-1, tel que P(X) = (X−α)Q(X). D’après l’hypothèse de récurrence, Q admet n-1 racines α₁ , ..., α_n−1. Par conséquent, P admet les n racines α , α₁ , ..., α_n−1. 2

On en d´eduit imm´ediatement :

Corollaire 5.0.14 Tout polynôme P, de degré n ≥1, de R[X] admet au plus n racines réelles (comptées avec leur ordre de multiplicité).

Proposition 5.0.15 – Soient f et g deux fonctions polynomiales sur K d´efinies par f(x) =anxⁿ+· · ·+a₁x+a₀ et g(x) =bmx^m+· · ·+b₁x+b₀. Si f =g, alorsm =n et ai =bi pour tout i.

D´emonstration –

• S’il existait i tel que ai 6= bi, la fonction polynomiale f −g serait de degr´e k ≥ i.

Elle aurait au plus k racines et ne serait donc pas nulle. Ce qui est contraire `a l’hypoth`ese. 2

Exercices–

1. Montrer queiest racine double du polynˆomeP(X) =X⁶+X⁵+ 3X⁴+ 2X³+ 3X²+ X+ 1.

2. Déterminer les réelsaetbtels que le polynômeP(X) =X⁵+aX⁴+bX³−bX²−aX−1 admette 1 comme racine de plus grande multiplicité possible.

6 Polynˆ omes irr´ eductibles

Définition 6.0.16 – Un polynôme non constant qui vérifie la condition : siP est produit de deux polynômes, l’un des deux est constant est dit irréductible.

Par convention, les polynˆomes constants ne sont pas irr´eductibles.

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RemarqueUn polynôme de degré 1 est irréductible.

Théorème 6.0.17 Polynômes irréductibles de C[X].

Les polynômes de degré 1 sont les seuls polynômes irréductibles de C[X].

D´emonstration

• D’après le théorème de d’Alembert, tout polynômeP, de degré≥2, admet au moins une racineα ∈C. P est donc divisible par (X−α), et il n’est pas irréductible. 2 Théorème 6.0.18 Polynômes irréductibles de R[X].

Les seuls polynômes irréductibles de R[X]sont - les polynômes de degré 1

- les polynômes de degré 2, dont le discriminant est strictement négatif Démonstration –

• SiP est un polynôme de degré 2 avec ∆≥0, il admet deux racines réelles ( distinctes ou confondues ) et s’écritP =a(X−α₁) (X−α₂). Il n’est pas irréductible.

• Si P est un polynôme de degrén > 2, d’après le théorème de d’Alembert, il admet au moins une racine α∈C

– Ou bien α∈R,P est divisible par (X−α) , et il n’est pas irr´eductible.

– Ou bien α /∈Ralorsα est aussi racine de P. P est divisible par (X −α)(X −α) = ¡

X²−2Re (α)X+αα¢

qui est un polynôme à coefficients réels. Par conséquent, P n’est pas irréductible.

-

Théorème 6.0.19 Dans K[X], tout polynôme P non constant se décompose en produit de polynômes irréductibles

Démonstration par récurrence sur le degrénde P :

• Initialisation : si n= 1 alors le polynˆome est irr´eductible.

• Hérédité : supposons que tout polynôme de degré < n soit produit de polynômes irréductibles.

Soit P un polynˆome de degr´en.

– Si P est irr´eductible, le r´esultat est obtenu.

– Si P n’ est pas irr´eductible,P =P₁P₂ avec deg (P₁)≥1 et deg (P₂)≥1.

deg (P₁) + deg (P₂) = deg (P) = n donc deg (P₁) < n et deg (P₂) < n. Par hypothèse de récurrence P₁ et P₂ sont tous les deux produits de polynômes irréductibles donc P est aussi produit de polynômes irréductibles. 2

(7)

Corollaire 6.0.20 D´ecomposition dans C[X]

Soit P un polynôme de degré n ≥1 de C[X]. Sa décomposition en produit de facteurs irréductibles est de la forme :

P =λ(X−α₁)^r¹· · ·(X−αp)^r^p avec r₁+...+rp =n Corollaire 6.0.21 D´ecomposition dans R[X]

Soit P un polynôme de degré n ≥1 de R[X]. Sa décomposition en produit de facteurs irréductibles est de la forme :

P =λ(X−α₁)^r¹· · ·(X−αp)^r^p(X²+β₁X+γ₁)^s¹· · ·(X²+β_kX+γ_k)^s^k avec r1+· · ·+rp+ 2(s1+· · ·+sk) =n et β_i²−4γi <0 pour i= 1,· · ·k Exemple : X³+X =X(X²+ 1) =X(X+i)(X−i)

La d´ecomposition dansC estX(X+i)(X−i) La d´ecomposition dansR estX(X²+ 1)

Exercice – Décomposer en produit de facteurs irréductibles le polynôme X³ + 1 dans R[X] puis dans C[X].

7 Division suivant les puissances croissantes

En effectuant la division deP parQ, que se passe-t-il si, au lieu de les ordonner suivant les puissances décroissantes, on les ordonne suivant les puissances croissantes? Dans les restes successifs, ce sont les termes de plus bas degré qui disparaissent. Ce qui amène à poser la définition suivante:

Définition 7.0.22 Soit P(X) = a₀ +a₁X+...+anXⁿ un polynôme non nul, ordonné suivant les puissances croissantes. On appellevaluationdeP l’indice du premier coefficient non nul. On la noteval (P).

Exemples : La valuation deX³+ 1 est 0. La valuation de X⁵−3X³+ 4X² est 2.

Th´eor`eme 7.0.23 ( admis )

∀A∈K[X], ∀B ∈K[X]tel que val (B) = 0, pour tout k∈N, il existe un unique couple de polynˆomes(Q_k, R_k) tel que :

A=BQk+X^k+1Rk et deg (Qk)≤k

Cette division s’appelle : division suivant les puissances croissantes de A par B `a l’ordre k.

Exercice– Effectuer la division suivant les puissances croissantes `a l’ordre 3 de 1 + 2X− 3X² par 1 + 4X+ 2X².

(8)

8 Exercices

8.1 Effectuer la division euclidienne deP(X) =X⁵+X³−X+2 parQ(X) =X²+3X−4.

8.2 Déterminer deux réelsaetbpour que le polynômeP(X) =X⁷+a X⁶+b X⁵−X⁴+ 5X³−2X² soit divisible parQ(X) =X⁴−2X²+X.

8.3 Soit P ∈C[X]. Soient aet bdeux nombres complexes tels que a6=b.

Calculer le reste de la division deP par (X−a)(X−b) en fonction de P(a) et P(b).

8.4 Montrer que le polynˆome P(X) = (X+ 1)⁵−X⁵−1 est divisible parX²+X+ 1.

8.5 Pour quelles valeurs r´eelles α etβ , le polynˆome αX⁴ +βX³+ 1 est-il divisible par (X−1)²?

8.6 Montrer que le polynˆomeP(X) = 1+X+ 1

2!X²+· · ·+ 1

n!Xⁿn’a pas de racine double.

8.7 (nov 2004 )On consid`ere le polynˆomeP(X) =X⁷−3X⁶+3X⁵−X⁴+X³−3X²+3X−1.

a) V´erifier que 1 est racine de P et calculer son ordre de multiplicit´e.

b) En d´eduire toutes les racines complexes deP.

c) DécomposerP en produit de polynômes irréductibles de R[X].

8.8 Montrer queiest racine double du polynôme P(X) =X⁶+X⁵+ 3X⁴+ 2X³+ 3X²+ X+ 1. En déduire la décomposition de P en produit de polynômes irréductibles dans R[X].

8.9 Décomposer le polynômeP(X) =X⁶−7X³−8 en produit de polynômes irréductibles dansC[X] puis dans R[X].

8.10 Décomposer le polynôme X⁸+X⁴+ 1 en produit de polynômes irréductibles dans R[X]. En déduire les racines complexes de ce polynôme.

8.11

a) Montrer que 2 est racine du polynˆome P(X) =X⁴−9X³+ 30X²−44X+ 24.

Quel est l’ordre de cette racine ?

b) Appliquer au polynˆome P la formule de Taylor au point α= 2. En d´eduire toutes les racines deP.

8.12 Effectuer la division suivant les puissances croissantes `a l’ordre 2 de A(X) = 1− 2X+X³+X⁴ parB(X) = 1 +X−X².