L1 MIPI 19 Mai 2016
Examen de Polynˆomes et Suites
Dur´ee: 3h. Aucun document ni calculatrice autoris´e. T´el´ephones portables INTERDITS.
Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.
Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif : 3 + 2 + 2 + 4 + 4 + 5 = 20.
La Feuille Annexe est A RENDRE AVEC LA COPIE Questions de cours.
1)Soit(un)nune suite de nombres r´eels et`2R. Rappeler lad´efinitionde lim
n!+1un=`.
2) Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre r´eponse.
a)Le polynˆomeX4+ 1est irr´eductible dansR[X].
b)Si la suiteuest d´ecroissante etun 0pour toutnalorsun!0.
c)Si la suiteuest born´ee alors elle converge.
d)Siun!1alors la s´erieP
undiverge.
Exercice 1. Mettre le nombre Z = 8 + i8p
3 sous forme exponentielle puis d´eterminer ses racines quatri`emes.
Exercice 2.
a)Calculer les limites des suites de terme g´en´eralun = 2n2+ 3 ln(n)
5n2+ 1 etvn= sin(n) 2 cos(n)
n .
Justifiez!
b)Montrer que la suite de terme g´en´eralwn = ( 1)n⇥n
n+ 1 n’a pas de limite.
Exercice 3. On consid`ere la suite(un)n d´efinie par la relation de r´ecurrenceun+1 = f(un)o`uf est la fonction dont le graphe est donn´esur la feuille Annexe.
a) `A l’aide du graphe d´eterminer, en expliquant votre r´eponse, les points fixes def. Pour chacun d’entre eux on pourra donner une valeur approch´ee.
b) Repr´esenter graphiquement (sur la feuille Annexe) les termes u0, u1, u2, u3 etu4 de la suite lorsqueu0 = 1. On prend cette foisu0 = 6, repr´esenter graphiquement les termesu0,u1,u2 etu3. c) On prend maintenantu0 = 7. Repr´esenter graphiquement les termes u0, u1, u2, u3 et u4. La suite(un)nest-elle croissante?
d)Donner une valeur deu0 telle que la suite(un)ntende vers0lorsquentend vers l’infini.
TSVP
Exercice 4. Soientu,vetwles suites d´efinies pourn 1par un=
Xn
k=1
p1
k, vn =un 2p
n, et wn =vn
p1 n. a)Justifier que pour tout entierk non a 1
pk p1
n. En d´eduire queun p
net d´eterminer la limite de la suiteu.
b)Montrer que pour toutn 1on a 1 2p
n+ 1 p
n+ 1 p
n 1 2p
n. Indication: pensez `a la quantit´e conjugu´ee.
c)En utilisant la question pr´ec´edente montrer que la suitev est d´ecroissante et que la suitewest croissante.
d) En d´eduire que les suites v et w convergent vers une mˆeme limite. On ne cherchera pas `a calculer cette limite.
Exercice 5. Le but de l’exercice est de factoriser le polynˆome
A = 4X5 8X4+X3 23X2 60X+ 36.
en produit de facteurs irr´eductibles dansC[X]et dansR[X].
1)SoitB = 2X3 3X2 7X 6.
a)Effectuer la division euclidienne deAparB. On notera par la suiteRle reste de cette division.
b)On suppose queAet B poss`edent une racine commune. On notera↵cette racine. Montrer que↵est aussi racine deR, et en d´eduire la valeur de↵.
c)D´eterminer le polynˆomeQtel queA= (X ↵)Q.
2)On suppose de plus queAposs`ede au moins une racine imaginaire pure.
a) Justifier que si z 2 C est racine de A alors z¯est aussi racine de A. Combien de racines imaginaires pures le polynˆomeAa-t-il donc au minimum?
b)Justifier que siz 6=↵est racine deAalorszest aussi racine deQ.
c)D´eterminer les racines imaginaires pures deQ(et donc deA).
3) a)D´eterminer toutes les racines deA.
b)En d´eduire la factorisation deAdansC[X]puis dansR[X].
