Racines des polynˆomes

Racines des polynˆ omes

1 Fonction polynˆ ome

1.1 D´efinitions D´efinition. Soit P

¸n i0

aiXⁱ P KrXsun polynˆome. On d´efinit

Pr : K Ñ K

t ÞÑ rPptq

¸n i0

a_itⁱ

appel´eefonction polynˆomeassoci´ee `a P.

Remarque.

D´efinition. Soit P P KrXs etaP K. On dit queaest une racine de P (ouz´ero) si et seulement si Prpaq 0.

Exemple.

Attention.

1.2 Propri´et´es

Lemme.Soit P P KrXsetaP Kfix´e. NotonsR le reste de la division euclidienne deP parXa. AlorsR est un polynˆome constant, ´egal `aPrpaq.

Th´eor`eme.

a est racine deP ðñ pXaq|P

Corollaire.

Corollaire.

1.3 M´ethode de H¨orner

Remarque fondatrice. Remarquons, sur un exemple pour ne pas alourdir les notations, que

a₃x³ a₂x² a₁x a₀ a₀ xpa₁ xpa₂ xpa₃qqq

Ecrit sous cette forme, cela permet l’´´ ecriture d’un algorithme performant.

Algorithme. Proc´edure en langageMapledu calcul de Ppxq, o`uP est donn´e par une listeP ra0, a1, . . . , ans

calcul := proc ( P :: list; x :: realcons) local y,i;

y := 0;

for i from nops(P)-1 to 0 by -1 do y := P[i] + x * y;

end do;

y

end proc;

2 Racines multiples

2.1 Polynˆome d´eriv´e Remarque.

Propri´et´e.

(a) P¹ 0 ðñ P est un polynˆome constant

(b) Pour tout P P KrXstel queP n’est pas constant, alors degpP¹q degpPq 1

(c) @pP, Qq P KrXs², @kP K

(c.1) pP Qq¹ P¹ Q¹

(c.2) pkPq¹ kP¹

(c.3) pPQq¹ P Q¹ P¹Q

2.2 Polynˆome d´eriv´e d’ordre n

D´efinition. On d´efinit par r´ecurrence lepolynˆome d´eriv´ee n^`eme de P en posant

P^p0qP etP^{pn 1q} pP^pnqq¹ @nP N

Propri´et´e. SiP Xⁿ, alorsP^pkq

$&

% n!

pnkq!X^nk si k¤n

0 si k¡n

Lemme (Formule de Mac Laurin). SoitP P KrXsrt0uavec degpPq n. Alors

PpXq

¸n k0

P^pkqp0q k! X^k

Formule de Taylor pour les polynˆomes.

Soit P P KrXsrt0uavec degpPq n, et soitaP K. Alors

Ppa Xq

¸n k0

P^pkqpaq k! X^k

PpXq

¸n k0

P^pkqpaq

k! pXaq^k

2.3 Ordre de multiplicit´e d’une racine Introduction.

D´efinition. SoitP P KrXsun polynˆome et aP K une racine de P. On appelle ordre de multiplicit´e de ale plus grand entier k0 tel que pXaq^k|P.

Th´eor`eme.

a est racine deP avec ordre de multiplicit´ek si et seulement si P pXaq^kQavec Qrpaq 0.

Th´eor`eme.

Soit P P KrXs. Alorsaest une racine de P d’ordrek¥1 si et ssi

#P^piqpaq 0 @iP t0, . . . , k1u P^pkqpaq 0

Remarque. N´ecessairement,k¤degpPq.

Exemple. D´eterminer les racines avec multiplicit´e de P X³X²X 1.

Corollaire. a est racine de P d’ordre k ¥2 si et seulement si a est racine de P eta est racine de P¹ d’ordre k1.

Th´eor`eme.

Soit P P KrXs,pa₁, . . . , a_rq P K^r tous distincts etpk₁, . . . , k_rq P N^r.

P admet chaque a_i pour racine d’ordrek_i si et seulement si

P Q

¹r i1

pXaiq^ki

avec Qrpa_iq 0@iP t1, . . . , ru.

Corollaire. SiP 0 admet r racines distinctes d’ordre de multiplicit´e respectivesk1, . . . , kr, alors

¸r i1

ki ¤degP

Corollaire. Un polynˆome non nul de degr´e na au plus n racines.

Corollaire. Soit P et Q deux polynˆomes non nuls de degr´es respectifs p et q. Soit n ¥ maxpp, qq. Si Pr et Qr

prennent les mˆemes valeurs en pn 1q points distincts deK, alors P Q.

Corollaire. @pP, Qq P KrXs², P Q ðñ rP rQ

3 D´ ecomposition dans Cr X s , dans Rr X s

3.1 Polynˆomes scind´es

D´efinition. Un polynˆomeP P KrXsest ditscind´e dans K si et seulement s’il est constant, ou s’il admet dans K des racines dont la somme des ordres de multiplicit´e est ´egal `a son degr´e.

Exemple. P X³3X 2 dans RrXs. Est-il scind´e ? Exemple. QX³ 2X² 2X 1P RrXs.

Propri´et´e. P P KrXsest scind´e si et ssiP est constant, ou s’il existe pa₁, . . . , a_rq P K^r et pk₁, . . . , k_rq P N^r et

λP Ktel que

P λ

¹r i1

pXa_iq^ki

Propri´et´e.Soit B scind´e etAP KrXs. Alors B|A si et seulement si les racines deB sont des racines de A, avec

au moins la mˆeme multiplicit´e.

3.2 D´ecomposition dans CrXs Th´eor`eme de d’Alembert.

Tout polynˆome non constant deCrXsadmet au moins une racine.

Corollaire. Les seuls polynˆomes irr´eductibles de CrXssontles polynˆomes de degr´e 1.

Corollaire. Tout polynˆome P P CrXs se d´ecompose en irr´eductibles unitaires c’est-`a-dire

P λ

¹r i1

pXa_iq^ki

appel´eed´ecomposition de d’Alembert.

En particulier tout polynˆome deCrXsest scind´e.

3.3 D´ecomposition dans RrXs Lemme.

Propri´et´e.

Th´eor`eme.

Les polynˆomes irr´eductibles deRrXssont

• les polynˆomes de degr´e 1 ;

• les polynˆomes de degr´e 2 `a discriminant strictement n´egatif.

Propri´et´e. On appelle d´ecomposition de Gauss la d´ecomposition de P P RrXs en produit d’irr´eductibles unitaires :

P λ

¹r i1

pXaiq^ki

¹s j1

pX² pjX qjq^lj

avec p²_j4qj  0

Exemple. Donner la d´ecomposition ded’Alembert et de Gaussde P X⁴ 1 Exemple. Factoriser dansRrXsle polynˆome P Xⁿ1.

4 Relations coefficients-racines

4.1 ´Equations alg´ebriques

D´efinition. On appelle´equation alg´ebriqueune ´equationPrpxq 0 o`uP est un polynˆome.Lessolutionsde

l’´equation sontles racines deP et ledegr´ede l’´equation estle degr´e deP.

Deux ´equations sont dites´equivalentes si elles admettent les mˆemes solutions, avec le mˆeme ordre de multi-

plicit´e.

4.2 Relation entre coefficients et racines d’un polynˆome scind´e

Introduction. Consid´erons pour commencer l’exemple simple des polynˆomes de degr´e 2 :

P λpXα₁qpXα₂q a₂X² a₁X a₀

En d´eveloppant et identifiant les coefficients, on trouve que : α₁ α₂ a₁

a2

etα₁α₂ a₀ a2

Introduction. Consid´erons maintenant l’exemple des polynˆomes de degr´e3 :

P λpXα1qpXα2qpXα3q a3X³ a2X² a1X a0

En d´eveloppant et identifiant les coefficients, on trouve que : α₁ α₂ α₃ a₂

a3

, α₁α₂ α₁α₃ α₂α₃ a₁ a3

etα₁α₂α₃ a₀ a3

D´efinition.SoitP P KrXsun polynˆome scind´e de degr´ep, s’´ecrivant :P a_pX^p a_p1X^p1 . . . a₁X a₀. On noteα1, α2, . . . , αplespracines deP. On d´efinit lesfonctions sym´etriques ´el´ementaires des racines:

σ₁ α₁ α₂ α_p

σ₂ α₁α₂ α₁α₃ α_p1α_p

...

σ_k ¸

1¤i1 i2  i_k¤p

α_i1α_i2. . . α_ik

...

σp α1α2. . . αp

Th´eor`eme.

On garde les notations de la d´efinition. Alors :

@kP t1, . . . , pu, σ_kp1q^kapk

a_p

Exemple. Calculer

¸4 i1

x²_i o`u lesxi sont les racines deP X⁴ X³ X² 1 dans C.

Racines 29.1SoitPPCrXs,pa,bqPC2 avecab,Alerestedansla divisioneuclidiennedePparXa,etBlerestedansladivision euclidiennedePparXb.SoitClerestedansladivisioneuclidienne dePparpXaqpXbq.D´eterminerCenfonctiondea,b,A,B. polynomes_12.tex 29.2D´emontrerquedansRrXs(m,n,pentiers,n0): (a)AnpX1q2n X2n 2X1estdivisibleparB2X3 3X2 X (b)CX3m X3n1 X3p2 estdivisibleparDX2 X1 polynomes_13.tex 29.3D´eterminerlesracinesrationnellesde: (a)X3 4X2 X6 (b)2X3 3X2 X1 (c)X3 3X1 (d)3X5 5X3 5X1 (e)2X5 3X4 7X3 7X2 3X1 (f)3X52X43X310X24X8 polynomes_14.tex 29.4D´eterminerlerestedeladivisioneuclidiennedePn pcosaXsinaqn parX2 1(aPR).polynomes_15.tex 29.5SoitPPRrXsv´erifiantdegpPq3,PestunitaireetPadmet troisracinesr´eellesdistinctesx1,x2,x3.´ Etudierlesracinesr´eellesde QP12 2PP2 .polynomes_16.tex 29.6SoitPX3 X1. (a)D´emontrerquePadmetuneuniqueraciner´eelleω.Donnerla d´ecompositiondePenirr´eductiblesdansRrXsenfonctiondeω. (b)MontrerquePn’apasderacinedansQ,puisquec’estunirr´e- ductibledeQrXs. polynomes_17.tex

29.7FactoriserdansRrXs: (a)X3 1(b)X6 1(c)X8 X4 1 polynomes_18.tex 29.8Montrerquetoutpolynˆome`acoefficientr´eeletdedegr´eim- pairadmetaumoinsuneraciner´eelle.polynomes_20.tex 29.9Soitpa1,,anqetpb1,,bnqdeuxfamillesder´eelsdistincts. D´emontrerl’existenceetl’unicit´edePPRrXstelquedegpPq¤n1 et@iPt1,,nu,rPpaiqbi.Onl’appellepolynˆomed’interpola- tiondeLagrange.polynomes_22.tex 29.10D´ecomposerenproduitdefacteursirr´eductiblesdansCrXs lepolynˆomeXn 1,nPN .polynomes_23.tex 29.11FactoriserX4 X3 X2 2X2etX3 3X2 2X6 dansRrXs,sachantqu’ilsontuneracinecommune.polynomes_31.tex 29.12D´eterminerl’ordredemultiplicit´edelaracine2dans X5 5X4 7X3 2X2 4X8.FactoriserPdansRrXs,dansCrXs. polynomes_32.tex 29.13Onn’utiliserapasdedivisioneuclidiennedanscetexercice. SoitPpX1q7 X7 1. (a)D´eterminerledegr´edeP. (b)MontrerquePaaumoinsdeuxracinesenti`eres,dontondonnera l’ordredemultiplicit´e. (c)MontrerquePestdivisibleparXj. (d)Donnerlad´ecompositionded’Alembert,puisdeGaussdeP. polynomes_49.tex 29.14FactoriserdansRrXs:pX2 X2q2 pX2q2 .polynomes_54.tex 29.15SoitPX4 2X3 X2 2X1PCrXs. (a)Siαestunz´erodeP,montrerqueα0etqueα1 estunz´ero deP.

(b)Enutilisantyx1 x,d´eterminerlesz´erosdeP. polynomes_64.tex 29.16Soit: PX6 6X5 15X4 20X3 12X2 4 (a)CalculerlepgcddePetP1 . (b)FactoriserPdansRrXspuisCrXs. polynomes_60.tex Racinesmultiples 29.17SoitAnpX1q6n1 X6n1 1etBpX2 X1q2 . D´emontrerqueBdiviseAn,pourtoutnPN.polynomes_24.tex 29.18SoitPaXn1 bXn 1PKrXs.D´etermineraetbpour quepX1q2 |Ppolynomes_25.tex 29.19D´eterminertroisr´eelsm,n,ptelsqueX6 mX4 10X3 nXpadmetteuneraciner´eelled’ordre4.polynomes_26.tex 29.20SoitnPN .Prouverque1estracinedePX2n nXn1 nXn1 1etdonnersonordredemultiplicit´e.polynomes_27.tex 29.21Trouvertouteslesvaleursdel’entiernpourquepX1qn pXn 1qadmetteuneracinedouble.polynomes_29.tex 29.22D´eterminerl’ordredemultiplicit´edelaracine2dans X5 5X4 7X3 2X2 4X8.FactoriserPdansRrXs,dansCrXs. polynomes_32.tex 29.23FactoriserdansRrXsX57X32X212X8sachant qu’ilyadesracinesmultiples.polynomes_55.tex

Relationscoefficients/racines 29.24SoitP2X3 3X2 32X15.Onsaitquedeuxdes racinesdePontpoursomme2.CalculerlesracinesdeP.polynomes_34.tex 29.25Onnoteα1,α2,α3lesracinescomplexesdel’´equation x3 px2 qxr0 Formerl’´equationdontlesracinessontα^{2 1},α^{2 2},α^{2 3}polynomes_35.tex 29.26R´esoudrelesyst`eme$ ' & ' %xyz2 xyz1 2 1 x1 y1 z1 2

polynomes_36.tex 29.27FactorisersurRetsurClepolynˆome: PX4 12X5 sachantqu’iladmetdeuxracinesdontlasommevaut2.polynomes_37.tex 29.28D´ecomposerdansRrXslepolynˆome: PX7 5X6 8X5 4X4 4X3 8X2 5X1 polynomes_38.tex 29.29SoitnPNtelquen¥2.D´eterminerlerestedansladivision euclidiennedePXn X1parpX1q2 .polynomes_39.tex 29.30FactoriserP8X3 12X2 2X3,sachantquesesracines sontenprogressionarithm´etique.polynomes_68.tex 29.31D´eterminerλpourquel’unedesracinesdupolynˆome X37Xλsoitledoubled’uneautre.polynomes_69.tex