Exercice 2 Inscrire un triangle ´ equilat´ eral dans un cercle, en utilisant la construction d’un hexa- gone. Faire la mˆ eme chose sans utiliser la construction d’un hexagone.

Universit´ e de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles

Ann´ ee universitaire 2013-2014 SEN 0505 - Licence 3

TD 4 : Les polygones r´ eguliers

Exercice 1 Combien un polygone convexe de n cˆ ot´ es poss` ede-t-il de diagonales ? Justifier.

Exercice 2 Inscrire un triangle ´ equilat´ eral dans un cercle, en utilisant la construction d’un hexa- gone. Faire la mˆ eme chose sans utiliser la construction d’un hexagone.

Exercice 3 D´ eterminer toutes les isom´ etries d’un triangle ´ equilat´ eral.

Exercice 4

1. Construire un dod´ ecagone (n = 12) r´ egulier convexe inscrit dans un cercle donn´ e.

2. Construire un hexad´ ecagone (n = 16) r´ egulier et convexe, inscrit dans un cercle donn´ e.

Exercice 5

1. Construire un pentagone (n = 5) r´ egulier convexe inscrit dans un cercle donn´ e.

2. Construire un pent´ ed´ ecagone (n = 15) r´ egulier convexe inscrit dans un cercle donn´ e, en utilisant un triangle ´ equilat´ eral et un pentagone r´ egulier convexe inscrits dans ce cercle.

Exercice 6 Inscrire dans un cercle Γ donn´ e un hexagone ABCDEF .

1. Pr´ eciser la nature des triangles ACE et BDF ; que repr´ esentent les droites (AD), (BE) et (CF ) pour le triangle ACE ?

2. Les droites (AD) et (EC) se coupent en A

, les droites (BE) et (AC) se coupent en B

, puis les droites (CF ) et (AE) se coupent en C

. Montrer que les demi-cercles ”int´ erieurs” au cercle Γ et de diam` etres les cˆ ot´ es du triangle ACE se coupent en A

, B

et C

.

3. Pr´ eciser la nature du triangle A

B

C

. Justifier.

Exercice 7 V´ erifier les formules du cours pr´ ecisant les longueur des cˆ ot´ es et apoth` emes d’un pentagone r´ egulier, en utilisant le r´ esultat ´ etabli pour le d´ ecagone.

Exercice 8 Une autre m´ ethode pour construire un pentagone r´ egulier convexe.

On consid` ere un cercle de centre O et de rayon R. Tracer deux diam` etres perpendiculaires [AB] et [CD]. Placer le milieu I de [AO]. Calculer la longueur IC en fonction de R. Construire un pentagone r´ egulier convexe inscrit dans ce cercle.

Exercice 9 Construire un hexagone r´ egulier EF GHIJ dont le cˆ ot´ e mesure 3 cm inscrit dans un cercle de centre O.

1. Pr´ eciser la nature du triangle OEF .

2. Les droites (J E ) et (F G) se coupent en A, les droites (J E ) et (IH) en B et les droites (F G) et (IH) en C. Quelle est la nature du triangle ABC ?

3. Prouver que les points O et B sont sur la m´ ediatrice du segment [IJ ].

4. On d´ esigne par K l’intersection des droites (OB) et (IJ) ; donner la nature du quadrilat` ere

OIBJ . Pr´ eciser la longueur du segment [OK].

Exercice 10 Construire un hexagone r´ egulier ABCDEF inscrit dans un cercle de rayon 4 cm et de centre O.

1. Montrer que la droite (AC) est la m´ ediatrice du segment [OB] et que (OB) est m´ ediatrice de [AC].

2. Montrer que A et D sont diam´ etralement oppos´ es dans le cercle.

3. Quelle est la nature du quadrilat` ere ACDF ? 4. Calculer l’aire de ce quadrilat` ere.

5. Les segments [AC] et [BF ] se coupent en I ; montrer que A et B , puis C et F sont sym´ etriques

par rapport ` a la droite (OI).