G20131. Les parall´ elogrammes
Consid´erons un grand triangle ´equilat´eral de cˆot´e n maill´e par des petits triangles ´equilat´eraux de cˆot´e 1. Exprimer en fonction de n le nombre de parall´elogrammes diff´erents que l’on peut tracer en respectant les deux conditions suivantes :
– cˆot´es parall`eles aux cˆot´es du triangle ´equilat´eral,
– sommets situ´es sur les noeuds du maillage du triangle ´equilat´eral.
Solution
On peut faire appel `a trois m´ethodes (au moins !), qui demandent plus ou moins de calculs.
Solution 1 : d´enombrement par taille
Pour des raisons de sym´etrie du triangle ´equilat´eral, le nombre cherch´e est 3 fois le nombre des parall´elogrammes dont les cˆot´es sont parall`eles aux cˆot´es du sommet A du triangle ´equilat´eral ABC.
Soit 2p le p´erim`etre d’un tel parall´elogramme (p≥2).
S’il aApour sommet, le sommet oppos´e est sur la ligne de p+ 1 sommets du maillage, parall`ele `a BC, et peut y ˆetre choisi de p−1 fa¸cons. Dans tous les cas, le sommet le plus proche deAest un noeud du triangleAB0C0 de cˆot´e n−p, et peut ˆetre choisi parmi
1 +. . .+ (n−p+ 1) = (n−p+ 1)(n−p+ 2)/2.
Le parall´elogramme est d´etermin´e en se donnant ce sommet et le parall´elo- gramme obtenu par la translation amenant ce sommet enA.
Prenant en compte les 3 orientations possibles, le nombre des parall´elo- grammes de p´erim`etre 2pest :
3(p−1)(n−p+ 1)(n−p+ 2)/2.
La sommation pour p = 2 `a n, utilisant les formules donnant respecti- vement la somme des n premiers entiers, des n premiers carr´es et des n premiers cubes, fournit pour r´esultat : (n−1)n(n+ 1)(n+ 2)/8.
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Solution 2 : m´ethode des diff´erences successives
Nombre de parall´elogrammes v´erifiant les conditions suivantes : – tous ceux r´epondant `a l’´enonc´e : pn, nombre cherch´e ;
– ceux sans sommet sur BC :pn−1;
– ceux ayant un sommet sur BC :qn=pn−pn−1;
– ceux ayant un sommet sur BC et sans sommet surAC :qn−1; – ceux ayant un sommet sur BC et surAC :rn=qn−qn−1;
– ceux ayant un sommet sur BC et sur AC mais sans sommet sur AB : rn−1;
– ceux ayant des sommets sur BC, surAC et surAB :sn=rn−rn−1. Chacun de ces derniers est d´etermin´e par celui des sommets A, B, C qui est sommet du parall´elogramme (3 possibilit´es) et par le sommet oppos´e (n−1 possibilit´es), doncsn= 3(n−1).
On r´esout ces r´ecurrences de proche en proche `a partir dep1 =q1 =r1 = 0 (on ne peut placer aucun parall´elogramme lorsque n= 1).
On obtient ainsi rn= 3(n−1)n/2,qn= (n−1)n(n+ 1)/2, et enfin pn= (n−1)n(n+ 1)(n+ 2)/8.
La forme remarquable du r´esultat peut conduire aussi `a imaginer des ap- proches d’o`u le r´esultat peut ˆetre directement tir´e . . .sans sommation !
Solution 3 : calcul direct sans sommation
Remarquons que l’on peut se limiter `a calculer le nombre de pa- rall´elogrammes dont les cˆot´es sont parall`eles aux cˆot´es AB et AC du triangle, et ensuite multiplier par 3 pour obtenir le nombre cherch´e.
Si je prolonge les cˆot´es d’un tel parall´elogramme, ils coupent BC en 4 points (exceptionnellement 3 si le parall´elogramme a un sommet surBC).
Les 2 premiers points `a partir deB sont sur les prolongements des cˆot´es parall`eles `aAB, les 2 derniers sur les prolongements parall`eles `a AC.
Pour faire disparaˆıtre le cas exceptionnel, j’agrandis le maillage du triangle
´equilat´eral en ajoutant une ligne suppl´ementaire sous le cˆot´e BC oppos´e au sommetA, pour former un triangleAB0C0 de cˆot´en+ 1. La ligneB0C0 comporten+2 noeuds y compris les extr´emit´esB0 etC0. L’op´eration “pro- longement des cˆot´es jusqu’`a B0C0” fournit alors une relation biunivoque entre les parall´elogrammes trac´es sur les noeuds du maillage deABC avec des cˆot´es parall`eles aux cˆot´es du sommet A et les quadruplets de noeuds de la ligneB0C0.
En effet, il est clair qu’`a un parall´elogramme correspond un quadruplet.
Cette application est inversible : partant de 4 noeuds deB0C0, tracer les parall`eles `a AB par les deux noeuds cˆot´e B0 et les parall`eles `aAC par les deux noeuds cˆot´eC0 fournit un parall´elogramme satisfaisant l’´enonc´e. Elle constitue bien une bijection entre les deux ensembles qui ont donc mˆeme cardinal.
Le r´esultat s’en d´eduit alors imm´ediatement comme ´etant trois fois le nombre de combinaisons de 4 ´el´ements pris parmin+ 2 soit
3Cn+24 = (n+ 2)(n+ 1)n(n−1)/8.
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