Master 1 MEEF 2016-2017 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
G´ eom´ etrie 3 Th` eme Th´ eor` eme de Pythagore
L’exercice propos´e au candidat Calculer le nombre de fa¸cons de prendre quatre objets parmi cinq.
Consid´erons deux t´etra`edres r´eguliers assembl´es en un poly`edre `a cinq som- mets, sur base triangulaire commune. Construisez le patron des trois t´etra`edres non r´eguliers d´ecomposant ce poly`edre suivant les trois autres fa¸cons d’apparier les sommets par quatre.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eves.
1. La hauteur du triangle ´equilat´eral tombe au milieu donc cette hauteur vaut
q
1 − 14 =p3/4, la grande hauteur est le double, le triangle isoc`ele cherch´e a donc comme dimensions 1, 1,√
3.
2. La hauteur du triangle ´equilat´eral horizontal, base des deux t´etra`edres, est le cˆot´e d’un triangle rectangle dont l’hypoth´enuse est une des arˆetes obliques du t´etra`edre r´egulier et l’autre petit cˆot´e la moiti´e de la hauteur du poly`edre. Laquelle, d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore dans ce triangle rectangle, est donc de longueur
r 1 −√
3 2
2
=
√4−3
2 = 12. La grande hauteur est donc le double, soit l’unit´e. Les trois t´etra`edres seraient donc r´eguliers. Mais ce n’est pas possible, le volume doit ˆetre plus petit, les 23 d’un volume de t´etra`edre r´egulier. J’ai dˆu me tromper quelque-part.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analysez la r´eponse propos´ee par les ´el`eves en mettant en ´evidence les comp´etences mises en jeu, la pertinence des d´emarches, l’origine des
´
eventuelles erreurs et des moyens d’y rem´edier.
2. Proposez une correction de la question telle que vous l’exposeriez devant une classe dont vous pr´eciserez le niveau.
3. Calculez les volumes des t´etra`edres mis en jeu, analytiquement et g´eom´etriquement.
4. Proposer trois exercices sur le th`eme du th´eor`eme de Pythagore.
