Ann´ee 2014-2015 MATMECA
Analyse Fonctionnelle et Int´egration : TD3.
Exercice 1. Soit X un ensemble et A=
n
A∈ P(X)|A d´enombrable ou Acd´enombrable o
.
Montrer queAest une σ−alg`ebre.
Exercice 2. Soient X etY deux ensembles, Aune σ−alg`ebre surX etB une σ−alg`ebre surY. Soitf : X−→Y une application.
a) Montrer quef−1(B) =
f−1(B)|B∈ B est une σ−alg`ebre sur X.
b) Donnez un contre-exemple montrant que
f(A)|A∈ A n’est pas uneσ−alg`ebre sur Y. c) Montrer queB0 =
B⊂Y |f−1(B)∈ A est une σ−alg`ebre sur Y. Exercice 3. Soit f : X,B
−→ R,B(R) .
a) Montrer quef est mesurable si et seulement si pour tout a∈R,
f > a ∈ B.
b) Sig est mesurable, montrer que
f < g ∈ B.
c) Soit (fn)n∈N une suite de fonctions mesurables de X,B
. Montrer que infnfn, supnfn, lim infnfn, lim supnfn sont mesurables.
d) Si fn−→f simplement et si (fn)n∈Nest une suite mesurable, montrer que f est mesurable.
Exercice 4. Soit (R2) la tribu de Borel sur R2, et ν la mesure de Borel. On rappelle que ν([a, b[×[c, d[) = (b−a)(d−c) Montrer que les ensembles suivants sont mesurables et calculer leurs mesures.
1. un rectangle de la forme [a, b]×[c, d]
2. un segment born´e parall`ele aux axes puis une droite parall`ele aux axes.
3. un segment born´e quelconque puis une droite quelconque.
4. l’int´erieur d’un triangle rectangle dont les cˆot´es adjacents `a l’hypot´enuse sont parall`eles aux axes.
5. un carr´e quelconque.
Exercice 5. Soient f et g deux fonctions continues sur [0,1]. On suppose que l’ensemble N ={x∈[0,1];f(x)6=g(x)} est n´egligeable. Montrer quef =g sur [0,1].
1
Exercice 6. Montrer que si f :R−→Rest int´egrable, sig est mesurable born´ee surR, alorsf g est int´egrable sur R.
Exercice 7. Les fonctions suivantes sont-elles Lebesgue-int´egrables:
a. f : ]1,+∞[−→Rd´efinie par f(t) = sintt pour t∈]1,+∞[;
b. g: R−→Rd´efinie par g(t) = 1+tsint2 pour t∈R ;
c. h: [0,1]−→Rd´efinie par h(x) =xnlnx pour x∈[0,1] etn≥0 ; d. u: [0,1]−→Rd´efinie par u(x) = ln1−xx pour x∈[0,1] ?
e. g: R−→Rd´efinie par g(t) =e−|t|asint,a >0, pourt∈R ;
Exercice 8. Montrer que pour a >0,R
[0,+∞[ sinax
expx−1 dx =P∞ n=1 a
n2+a2 . Exercice 9. Soit fn(x) = exp(−nx)−2 exp(−2nx) pour n∈N∗ etx∈R.
a. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral fn(x) est convergente pour tout x ≥ 0 et calculer sa sommef(x).
b. Montrer quef et tous les fn sont int´egrables sur [0,+∞[.
c. ComparerR
[0,+∞[f dλ etP∞ n=0
R
[0,+∞[fndλ. Que peut-on dire?
Exercice 10. Soit f une fonction int´egrable sur R et soit (an)n∈N une suite de r´eels. Montrer que la s´erie g(x) =P
n≥0f(x−an)/2n est convergente presque partout. CalculerR
Rg(x)dx .
Exercice 11. Calculer les limites suivantes:
1. lim
n→∞
Z +∞
0
e−xn
1 +x2 dx, lim
n→∞
Z n
0
1−x
n n
ex2 dx,
2. lim
n→∞
Z n
0
1 +x
n n
e−2xdx, lim
n→∞
Z n
0
fx n
e−xdx o`uf ∈ C0(R),
3. lim
n→∞gn(x) et lim
n→+∞
Z +∞
0
gn(x)dx, o`ugn(x) = 1 ne−xn
2
