Enonc´e noD125 (Diophante)
Avec trois pi`eces de monnaie et quelques allumettes
Posez trois pi`eces de monnaie identiques de centres O1, O2 et O3 sur une table plane de telle sorte qu’elles se recouvrent partiellement avec un seul point commun M. Avec des allumettes, tracez les tangentes qui touchent deux pi`eces sans couper la troisi`eme et d´eterminent un triangle ABC `a l’int´erieur duquel se trouvent les trois pi`eces. Tracez enfin les tangentes `a deux pi`eces qui sont parall`eles aux pr´ec´edentes et d´eterminent un triangle A0B0C0.
D´emontrez que le segment qui relie les centres des cercles circonscrits `aABC etA0B0C0a pour milieuM et passe par le centre du cercle inscrit au triangle O1O2O3.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
SoitI le centre du cercle inscrit au triangleO1O2O3,r son rayon,Rle rayon des pi`eces.
Les cˆot´es du triangleABC sont parall`eles aux cˆot´es du triangle O1O2O3, et
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a la distance r +R de I. Les deux triangles sont donc homoth´etiques ; ils ont tous deux I comme centre du cercle inscrit, donc I est le point fixe de l’homoth´etie, qui n’en a qu’un car son rapport est 1 +R/r 6= 1.
Le triangleABC est donc transform´e deO1O2O3 par l’homoth´etie de centre I et de rapport 1 +R/r. Le cercle circonscrit au triangleO1O2O3 aM pour centre et R pour rayon, donc le cercle circnscrit au triangle ABC a pour centre le pointωtransform´e deM par l’homoth´etie de centreI et de rapport 1 +R/r. Son rayon est R+R2/r.
De mˆeme, les cˆot´es du triangleA0B0C0 sont parall`eles aux cˆot´es du triangle O1O2O3, et `a la distanceR−r de I du cˆot´e oppos´e aux cˆot´es parall`eles de O1O2O3, car r < R. Le triangleA0B0C0 est donc transform´e deO1O2O3 par l’homoth´etie de centre I et de rapport 1−R/r. Le centre ω0 de son cercle circonscrit est le transform´e deM par cette homoth´etie.
Ainsiω etω0 sont sur la droiteIM, avec (alg´ebriquement)
Iω= (1 +R/r)IM,Iω0 = (1−R/r)IM, d’o`uM ω+M ω0= 0, ce qui prouve queM est le milieu de ωω0, CQFD.
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