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si la balance n’est pas en ´equilibre, les 14 pi`eces les plus l´eg`eres contiennent strictement plus de fausses pi`eces que les plus lourdes

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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A717. La pes´ee de L´eonard

Parmi cent pi`eces, quatre sont fausses. Ces derni`eres ont toutes le mˆeme poids et sont plus l´eg`eres que les bonnes pi`eces, elles-mˆemes de poids identiques.

Comment identifier au moins douze bonnes pi`eces `a l’issue de deux pes´ees faites avec une balance Rober- val `a deux plateaux ?

Pour les plus courageux : quel est le nombre maximum de bonnes pi`eces que l’on peut identifier avec deux pes´ees ?

Source: d’apr`es un probl`eme pos´e lors d’une r´ecente ”Euler” comp´etition.

—————————————

Solution de Claude Felloneau

R´eponse : on peut identifier au maximum 14 bonnes pi`eces.

Identifier 14 bonnes pi`eces en deux pes´ees

Pour la premi`ere pes´ee, on place 29 pi`eces sur chacun des plateaux

si la balance n’est pas en ´equilibre, les 29 pi`eces les plus l´eg`eres contiennent strictement plus de fausses pi`eces que les plus lourdes, on ne conserve que les 29 pi`eces les plus lourdes qui contiennent au plus une fausse pi`ece.

Pour la seconde pes´ee, on en place 14 sur chaque plateau.

si la balance n’est pas en ´equilibre, les 14 pi`eces les plus l´eg`eres contiennent strictement plus de fausses pi`eces que les plus lourdes. Comme leur r´eunion ne contient qu’au plus une fausse pi`ece, les 14 pi`eces les plus lourdes sont bonnes.

si la balance est ´equilibre, il y a autant de fausses pi`eces sur chaque plateau donc aucune puisque leur r´eunion en contient au maximum une. Les 28 pi`eces utilis´ees dans cette pes´ee sont bonnes.

si la balance est en ´equilibre, c’est un peu plus compliqu´e !

Utilisons des sacs pour manipuler les pi`eces : on place les 29 pi`eces du premier plateau dans un sac A, le sac B contient 14 pi`eces prises sur le deuxi`eme plateau, le sac C contient 14 autres pi`eces du deuxi`eme plateau, le sac D contient la seule pi`ece restante sur le deuxi`eme plateau.

Enfin, les 42 pi`eces non utilis´ees sont plac´ees dans le sac E.

Pour la deuxi`eme pes´ee, on place A et B sur le premier plateau et D et E sur le second plateau.

Chacun des plateaux contient donc 43 pi`eces.

D´esignons par a, b, c, d, e les nombres respectifs de fausses pi`eces contenues dans les sacs A, B, C, D, E. On aa+b+c+d+e= 4 et, d’apr`es la premi`ere pes´ee, a=b+c+d.

On en d´eduit donc que les valeurs possibles de (a, b, c, d, e) sont :

(0,0,0,0,4),(1,1,0,0,2),(1,0,1,0,2),(1,0,0,1,2),(2,1,1,0,0),(2,1,0,1,0),(2,0,1,0,0).

si le premier plateau est plus lourd que le second, on choisit le sac B.

En effet, on aa+b < d+eet les valeurs possibles pour (a, b, c, d, e) sont donc : (0,0,0,0,4),(1,0,1,0,2),(1,0,0,1,2).On en d´eduit b= 0.

si le premier plateau est plus l´eger que le second, on choisit le sac E.

En effet, on aa+b > d+eet les valeurs possibles pour (a, b, c, d, e) sont donc : (2,1,1,0,0),(2,1,0,1,0),(2,0,1,0,0).On en d´eduit e= 0.

s’il y a ´equilibre, on choisit le sac C.

En effet, on aa+b=d+eet l’unique valeur possible de (a, b, c, d, e) est (1,1,0,0,2).On en d´eduit c=d= 0.

Dans tous les cas on obtient au moins 14 bonnes pi`eces.

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On ne peut pas identifier 15 bonnes pi`eces avec deux pes´ees.

Supposons que l’on puisse d´eterminer 15 bonnes pi`eces en deux pes´ees.

Pour lai-`eme pes´ee, on noteAi l’ensemble des pi`eces plac´ees sur le premier plateau,Bil’ensemble des pi`eces plac´ees sur le deuxi`eme plateau etCi l’ensemble des pi`eces non utilis´ees dans cette pes´ee.

On poseA=A1∩A2, B=A1(B2∪C2), C =B1∩A2, D=B1∩B2, E=B1∩C2, F =A2∩C2, G=B2(A1∪C1), H =C1∩C2. Tous ces ensembles sont disjoints deux `a deux et leur r´eunion est l’ensemble des 100 pi`eces.

On note respectivementa, b, c, d, e, f, g, hle nombre de fausses pi`eces contenues dansA, B, C, D, E, F, G, H.

La premi`ere pes´ee permet de comparerA∪B etC∪D∪E. On suppose qu’elle donne l’´equilibre.

Pour la seconde pes´ee, on aA∪C∪F sur le premier plateau etD∪Gsur le second.

L’algorithme suivant permet de d´eterminer les cas permettant de conclure.

Algorithme Initialisation :

R´epartir la liste des octupl´es (a, b, c, d, e, f, g, h) d’entiers positifs ou nuls dont la somme est 4 et tels quea+b=c+d+erepartis en trois groupes :

G[0] : ceux tels quea+c+f =d+g G[1] : ceux tels quea+c+f < d+g G[2] : ceux tels quea+c+f > d+g

L1 est la liste des (A, B, C, D, E, F, G, H) appartenant `a {0,1}8 tels que A+B >0, C+D+E >0, A+C+F >0, etD+G >0.

(Commentaire : par exemple,A= 0 signifie que l’ensembleAest vide,A= 1 signifie que l’ensembleAn’est pas vide ; `a chaque pes´ee, aucun des plateaux n’est vide)

L2=[ ] : liste des r´esultats (vide au d´epart).

Traitement :

Pour tout X de la listeL1:

D´eterminer la listeL3 des rangs des coordonn´ees de X qui sont nulles.

Pour ide 0 `a 2

· D´eterminer la listeH[i] des octupl´es deG[i] dont les coordonn´ees de rang appartenant

`

aL3 sont nulles.

· Calculer la sommes[i] des octupl´es de H[i].

· Faire la listeL[i] des rangs des coordonn´ees des[i] qui sont nulles et n’appartiennent pas `a L3.

Si L[0], L[1]etL[2] sont non vides, mettre le r´esultat [L4, L[0], L[1], L[2]] dans la liste L2

des r´esultats.

Sortie :

Afficher la listeL2.

On en d´eduit trois cas d´ebouchant sur une solution.

Condition Solution sim1=m2 Solution sim1> m2 Solution sim1< m2

1 D, E, F, H sont vides B A G

2 B, D, F, H sont vides E C G

3 B, F, H sont vides E C G

o`um1 etm2d´esignent respectivement les masses deA∪C∪F et D∪G.

Dans le premier cas, on doit donc avoircard(B)>15 et card(A)>15.

card(A∪B) =card(C) donccard(C)>30 etcard(A∪C) =card(G) donccard(G)>45.

On en d´eduitcard(A) +card(B) +card(C) +card(G)>105, ce qui est impossible.

Dans les deux autres cas, on doit donc avoir card(E)>15,card(C)>15.

card(C∪D∪E) =card(A) donccard(A)>30.

De pluscard(A∪C) =card(D∪G) donccard(D∪G))>45.

On en d´eduitcard(A) +card(C) +card(E) +card(D∪G)>105, ce qui est impossible.

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