A717. La pes´ee de L´eonard
Parmi cent pi`eces, quatre sont fausses. Ces derni`eres ont toutes le mˆeme poids et sont plus l´eg`eres que les bonnes pi`eces, elles-mˆemes de poids identiques.
Comment identifier au moins douze bonnes pi`eces `a l’issue de deux pes´ees faites avec une balance Rober- val `a deux plateaux ?
Pour les plus courageux : quel est le nombre maximum de bonnes pi`eces que l’on peut identifier avec deux pes´ees ?
Source: d’apr`es un probl`eme pos´e lors d’une r´ecente ”Euler” comp´etition.
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Solution de Claude Felloneau
R´eponse : on peut identifier au maximum 14 bonnes pi`eces.
• Identifier 14 bonnes pi`eces en deux pes´ees
Pour la premi`ere pes´ee, on place 29 pi`eces sur chacun des plateaux
– si la balance n’est pas en ´equilibre, les 29 pi`eces les plus l´eg`eres contiennent strictement plus de fausses pi`eces que les plus lourdes, on ne conserve que les 29 pi`eces les plus lourdes qui contiennent au plus une fausse pi`ece.
Pour la seconde pes´ee, on en place 14 sur chaque plateau.
∗ si la balance n’est pas en ´equilibre, les 14 pi`eces les plus l´eg`eres contiennent strictement plus de fausses pi`eces que les plus lourdes. Comme leur r´eunion ne contient qu’au plus une fausse pi`ece, les 14 pi`eces les plus lourdes sont bonnes.
∗ si la balance est ´equilibre, il y a autant de fausses pi`eces sur chaque plateau donc aucune puisque leur r´eunion en contient au maximum une. Les 28 pi`eces utilis´ees dans cette pes´ee sont bonnes.
– si la balance est en ´equilibre, c’est un peu plus compliqu´e !
Utilisons des sacs pour manipuler les pi`eces : on place les 29 pi`eces du premier plateau dans un sac A, le sac B contient 14 pi`eces prises sur le deuxi`eme plateau, le sac C contient 14 autres pi`eces du deuxi`eme plateau, le sac D contient la seule pi`ece restante sur le deuxi`eme plateau.
Enfin, les 42 pi`eces non utilis´ees sont plac´ees dans le sac E.
Pour la deuxi`eme pes´ee, on place A et B sur le premier plateau et D et E sur le second plateau.
Chacun des plateaux contient donc 43 pi`eces.
D´esignons par a, b, c, d, e les nombres respectifs de fausses pi`eces contenues dans les sacs A, B, C, D, E. On aa+b+c+d+e= 4 et, d’apr`es la premi`ere pes´ee, a=b+c+d.
On en d´eduit donc que les valeurs possibles de (a, b, c, d, e) sont :
(0,0,0,0,4),(1,1,0,0,2),(1,0,1,0,2),(1,0,0,1,2),(2,1,1,0,0),(2,1,0,1,0),(2,0,1,0,0).
∗ si le premier plateau est plus lourd que le second, on choisit le sac B.
En effet, on aa+b < d+eet les valeurs possibles pour (a, b, c, d, e) sont donc : (0,0,0,0,4),(1,0,1,0,2),(1,0,0,1,2).On en d´eduit b= 0.
∗ si le premier plateau est plus l´eger que le second, on choisit le sac E.
En effet, on aa+b > d+eet les valeurs possibles pour (a, b, c, d, e) sont donc : (2,1,1,0,0),(2,1,0,1,0),(2,0,1,0,0).On en d´eduit e= 0.
∗ s’il y a ´equilibre, on choisit le sac C.
En effet, on aa+b=d+eet l’unique valeur possible de (a, b, c, d, e) est (1,1,0,0,2).On en d´eduit c=d= 0.
Dans tous les cas on obtient au moins 14 bonnes pi`eces.
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• On ne peut pas identifier 15 bonnes pi`eces avec deux pes´ees.
Supposons que l’on puisse d´eterminer 15 bonnes pi`eces en deux pes´ees.
Pour lai-`eme pes´ee, on noteAi l’ensemble des pi`eces plac´ees sur le premier plateau,Bil’ensemble des pi`eces plac´ees sur le deuxi`eme plateau etCi l’ensemble des pi`eces non utilis´ees dans cette pes´ee.
On poseA=A1∩A2, B=A1∩(B2∪C2), C =B1∩A2, D=B1∩B2, E=B1∩C2, F =A2∩C2, G=B2∩(A1∪C1), H =C1∩C2. Tous ces ensembles sont disjoints deux `a deux et leur r´eunion est l’ensemble des 100 pi`eces.
On note respectivementa, b, c, d, e, f, g, hle nombre de fausses pi`eces contenues dansA, B, C, D, E, F, G, H.
La premi`ere pes´ee permet de comparerA∪B etC∪D∪E. On suppose qu’elle donne l’´equilibre.
Pour la seconde pes´ee, on aA∪C∪F sur le premier plateau etD∪Gsur le second.
L’algorithme suivant permet de d´eterminer les cas permettant de conclure.
Algorithme – Initialisation :
∗ R´epartir la liste des octupl´es (a, b, c, d, e, f, g, h) d’entiers positifs ou nuls dont la somme est 4 et tels quea+b=c+d+erepartis en trois groupes :
G[0] : ceux tels quea+c+f =d+g G[1] : ceux tels quea+c+f < d+g G[2] : ceux tels quea+c+f > d+g
∗ L1 est la liste des (A, B, C, D, E, F, G, H) appartenant `a {0,1}8 tels que A+B >0, C+D+E >0, A+C+F >0, etD+G >0.
(Commentaire : par exemple,A= 0 signifie que l’ensembleAest vide,A= 1 signifie que l’ensembleAn’est pas vide ; `a chaque pes´ee, aucun des plateaux n’est vide)
∗ L2=[ ] : liste des r´esultats (vide au d´epart).
– Traitement :
Pour tout X de la listeL1:
∗ D´eterminer la listeL3 des rangs des coordonn´ees de X qui sont nulles.
∗ Pour ide 0 `a 2
· D´eterminer la listeH[i] des octupl´es deG[i] dont les coordonn´ees de rang appartenant
`
aL3 sont nulles.
· Calculer la sommes[i] des octupl´es de H[i].
· Faire la listeL[i] des rangs des coordonn´ees des[i] qui sont nulles et n’appartiennent pas `a L3.
∗ Si L[0], L[1]etL[2] sont non vides, mettre le r´esultat [L4, L[0], L[1], L[2]] dans la liste L2
des r´esultats.
– Sortie :
Afficher la listeL2.
On en d´eduit trois cas d´ebouchant sur une solution.
Condition Solution sim1=m2 Solution sim1> m2 Solution sim1< m2
1 D, E, F, H sont vides B A G
2 B, D, F, H sont vides E C G
3 B, F, H sont vides E C G
o`um1 etm2d´esignent respectivement les masses deA∪C∪F et D∪G.
Dans le premier cas, on doit donc avoircard(B)>15 et card(A)>15.
card(A∪B) =card(C) donccard(C)>30 etcard(A∪C) =card(G) donccard(G)>45.
On en d´eduitcard(A) +card(B) +card(C) +card(G)>105, ce qui est impossible.
Dans les deux autres cas, on doit donc avoir card(E)>15,card(C)>15.
card(C∪D∪E) =card(A) donccard(A)>30.
De pluscard(A∪C) =card(D∪G) donccard(D∪G))>45.
On en d´eduitcard(A) +card(C) +card(E) +card(D∪G)>105, ce qui est impossible.
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