40 % des pi`eces proviennent de la machine 1 et 60 % de la machine 2

SIO₂ 1, xheure 15 octobre 2020 Contrˆole de math´ematiques approfondies 1

Exercice I

Les trois parties A, B et C de cet exercice sont ind´ependantes.

Une entreprise fabrique en grande quantit´e un certain type de pi`eces pour de l’´equipement informatique.

A. Probabilit´es conditionnelles

Les pi`eces sont fabriqu´ees par deux machines not´ees : �machine 1 �et� machine 2�. 40 % des pi`eces proviennent de la machine 1 et 60 % de la machine 2.

On admet que 5 % des pi`eces provenant de la machine 1 sont d´efectueuses et que 2 % des pi`eces provenant de la machine 2 sont d´efectueuses.

On pr´el`eve au hasard une pi`ece dans la production d’une journ´ee des deux machines.

Toutes les pi`eces ont la mˆeme probabilit´e d’ˆetre pr´elev´ees.

On appelleA l’´ev`enement :�la pi`ece provient de la machine 1�. On appelleB l’´ev`enement :�la pi`ece provient de la machine 2�. On appelleD l’´ev`enement :<sup>�</sup>la pi`ece est d´efectueuse ^�.

1. `A l’aide des informations contenues dans l’´enonc´e, donner les probabilit´esP(A), P(B), P_A(D), etP_B(D).

(On rappelle queP_A(D) =P(D/A) est la probabilit´e de l’´ev`enementDsachant que l’´ev`enementA est r´ealis´e).

2. (a) Calculer P(A∩D) et P(B∩D).

(b) En d´eduire la probabilit´e qu’une pi`ece soit d´efectueuse.

3. Calculer la probabilit´e qu’une pi`ece provienne de la machine 1 sachant qu’elle est d´efectueuse.

B. Loi binomiale

Dans un stock de ces pi`eces, on pr´el`eve au hasard 10 pi`eces pour v´erification. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce pr´el`evement `a un tirage avec remise de 10 pi`eces.

On note E l’´ev`enement :� une pi`ece pr´elev´ee au hasard dans ce stock est d´efectueuse�. On suppose queP(E) = 0,03.

On consid`ere la variable al´eatoireXqui, `a tout pr´el`evement de 10 pi`eces, associe le nombre de pi`eces d´efectueuses parmi ces 10 pi`eces.

1. Justifier que la variable al´eatoire X suit une loi binomiale dont on d´eterminera les param`etres.

2. Calculer la probabilit´e que, dans un tel pr´el`evement, aucune pi`ece ne soit d´efectueuse.

Arrondir `a 10⁻³.

3. Calculer la probabilit´e que, dans un tel pr´el`evement, au moins deux pi`eces soient d´efectueuses

Arrondir `a 10⁻³.

C. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale

Dans un lot de ce type de pi`eces, on admet que 3,2 % des pi`eces sont d´efectueuses.

On pr´el`eve au hasard 500 pi`eces de ce lot. Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce pr´el`evement `a un tirage avec remise de 500 pi`eces.

On consid`ere la variable al´eatoire Y qui, `a tout pr´el`evement de 500 pi`eces, associe le nombre de pi`eces d´efectueuses parmi ces 500 pi`eces.

On admet que la variable al´eatoire Y suit la loi binomiale de param`etres n = 500 et p= 0,032.

1. On consid`ere que la loi suivie par la variable al´eatoireY peut ˆetre approch´ee par la loi normale de moyenne 16 et d’´ecart type 3,9. Justifier les param`etres de cette loi normale.

2. On d´esigne par Z une variable al´eatoire suivant la loi normale de moyenne 16 et d’´ecart type 3,9.

D´eterminer la probabilit´e que, dans un tel pr´el`evement, il y ait entre 13 et 19 pi`eces d´efectueuses, c’est-`a-dire calculer P(12,5�Z�19,5). Arrondir `a 10⁻².

Exercice II

On suppose que la dur´ee d’attente `a un guichet de service, exprim´ee en heure, suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1].

1. D´eterminer la probabilit´e que la dur´ee d’attente d’une personne prise au hasard soit comprise entre 15 min et 20 min.

2. D´eterminer la probabilit´e que la dur´ee d’attente d’une personne prise au hasard soit comprise entre 15 min et 20 min sachant que la personne attend d´ej`a depuis 10 min.

Exercice III

Compl´eter l’arbre de droite en utilisant l’arbre de gauche.

A

B

B

A

B

B

1 5

1 8 7 8

4

5 4

9 5 9

B

A

A

B

A

A . . .

. . . . . .

. . .

. . . . . .

Exercice IV

Soit A,B etC trois ´ev´enements d’un mˆeme universΩmuni d’une probabilit´eP. On sait que A etB sont ind´ependants, P(A) = 2

5, P(A∪B) = 3

4,P(C) = 1

2 et P(A∩C) = 1 10. Dire, en justifiant la r´eponse, si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.

Proposition 1 : P_B(A) = 2 5 Proposition 2 : P(B) = 7

12 Proposition 3 : P(A∪C) = 2

5

SIO₂ 1 heure 15 octobre 2020 Corrig´e du contrˆole de math´ematiques approfondies 1

Exercice I

A. Probabilit´es conditionnelles

1. L’´enonc´e indique directement :P(A) = 0,4,P(B) = 0,6,P_A(D) = 0,05, etP_B(D) = 0,02.

L’arbre ci-dessous n’est pas demand´e mais peut aider.

A

D

D

B

D

D 0,4

0,05 0,95

0,6

0,02 0,98

2. (a)

P(A∩D) =P(A)×P_A(D)

= 0,4×0,05 P(A∩D) = 0,02

P(B∩D) =P(B)×P_B(D)

= 0,6×0,02 P(B∩D) = 0,012

(b) On en d´eduit la probabilit´e qu’une pi`ece soit d´efectueuse.

P(D) =P(A∩D) +P(B∩D)

= 0,02 + 0,012 P(D) = 0,032

3. La probabilit´e qu’une pi`ece provienne de la machine 1 sachant qu’elle est d´efectueuse est

P_D(A) = P(A∩D) P(D)

= 0,02 0,032 P_D(A) = 1

16 = 0,625 B. Loi binomiale

1. On r´ep`ete 10 fois, de mani`ere ind´ependante, l’exp´erience de Bernoulli `a deux issues : la pi`ece est d´efectueuse (probabilit´e 0,03) ou pas. Le nombre de pi`eces d´efectueuses X suit donc la loi binomiale de param`etres 10 et 0,03.

2. La probabilit´e que, dans un tel pr´el`evement, aucune pi`ece ne soit d´efectueuse est P(X = 0)�0,737

3. La probabilit´e que, dans un tel pr´el`evement, au moins deux pi`eces soient d´efectueuses est

P(X �2) = 1−P(X�1) P(X �2)�0,035

C. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale

1. Comme 500 est grand, la loi binomiale suivie par la variable al´eatoire Y peut ˆetre approch´ee par la loi normale de mˆeme esp´erance et de mˆeme ´ecart-type :

• L’esp´erance de la loi binomiale est

np= 500×0,032 = 16.

• Son ´ecart-type est

�np(1−p) =�

500×0,032(1−0,032)�3,9.

2. La probabilit´e que, dans un tel pr´el`evement, il y ait entre 13 et 19 pi`eces d´efectueuses est

P(12,5�Z �19,5)� 0,63 Exercice II

On suppose que la dur´ee d’attente `a un guichet de service, exprim´ee en heure, suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1].

1. La probabilit´e que la dur´ee d’attente d’une personne prise au hasard soit comprise entre 15 min et 20 min est 5

60 .

2. La probabilit´e que la dur´ee d’attente d’une personne prise au hasard soit comprise entre 15 min et 20 min sachant que la personne attend d´ej`a depuis 10 min est 5

50 . Exercice III

A

B

B

A

B

B

1 5

1 8 7 8

4

5 4

9 5 9

B

A

A

B

A

A

137 360

9 137 128 137

223

360 63

223 160 223

Calculs :

• P(B) = 1 5× 1

8+4 5 ×4

9 = 137 360

• P(B) = 1−P(B) = 223 360

• P_B(A) = P(A∩B) P(B) =

1 5× 1

1378 360

= 9

137

• P_B(A) = 1−P_B(A) = 128 137

• P_B(A) = P(A∩B) P(B) =

1 5× 7

2238 360

= 63 223

• P_B(A) = 1−P_B(A) = 160 223 Exercice IV

On sait queAetBsont ind´ependants,P(A) = 2

5,P(A∪B) = 3

4,P(C) = 1

2 etP(A∩C) = 1

10.

Proposition 1 : P_B(A) = 2

5. C’est vrai :A ne d´epend pas deB doncP_B(A) =P(A).

Proposition 2 : P(B) = 7

12. C’est vrai :

CommeA etB sont ind´ependants,

P(A∩B) =P(A)×P(B) De

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) on d´eduit

3 4 = 2

5 +P(B)− 2

5×P(B) 3

4− 2 5 = 3

5 ×P(B) P(B) = 7

20 ×5 3 P(B) = 7

12 Proposition 3 : P(A∪C) = ¹₅. C’est faux :

P(A∪C) = 1−P(A∪C)

= 1−(P(A) +P(C)−P(A∩C))

= 1−

�2 5 +1

2 − 1 10

�

P(A∪C) = 1 5