NOM Pr´enom : Groupe de TD :
I.U.T. de Brest Ann´ee 2019-2020
G.M.P. 1 Devoir du 18/12/2019
Outils math´ematiques (M1301) Dur´ee : 1h30
Documents et mat´eriel autoris´es.1. calculatrice – 2. formulaire personnel tenant sur une copie double (contenu de cours mais pas d’exercices corrig´es) – 3. table de la loi normale centr´ee r´eduite.
Enonc´´ e et formulaire personnel `a rendre avec la copie.
La qualit´e de la r´edaction, notamment le soin apport´e `a justifier ou expliquer un r´esultat, sera prise en compte dans l’attribution de la note.
Exercice 1 (≃3,5 points).
Un d´e cubique, parfaitement ´equilibr´e, a six faces num´erot´ees de 1 `a 6.
1. On lance 10 fois successivement ce d´e.
Les r´esultats seront arrondis `a 10−3 pr`es.
a) D´eterminer la probabilit´e d’obtenir un 6 entre une et neuf fois en 10 lancers.
b) D´eterminer la probabilit´e d’obtenir au moins un 6 en 10 lancers.
2. Combien de fois doit-on lancer le d´e pour ˆetre pratiquement certain (`a plus de 99,9%) d’obtenir au moins un 6 ? Il est demand´e ici de faire un raisonnement ; il ne s’agit pas de tester des valeurs au hasard et de voir si cela convient.
Exercice 2 (≃8 points).
Une urne contient 6 boules rouges et n boules blanches (avec n un entier sup´erieur ou ´egal `a 2).
Alice participe au jeu suivant :
• Alice tiresuccessivement et sans remise deux boules de l’urne ;
• si les deux boules tir´ees sont de la mˆeme couleur, Alice gagne 1 euro ;
• si les deux boules tir´ees sont de couleurs diff´erentes, Alice perd 1 euro.
On note X la variable al´eatoire qui, `a chaque tirage de deux boules, associe le gain alg´ebrique d’Alice.
1. On suppose que n = 4.
a) D´eterminer la probabilit´e que les deux boules tir´ees sont de la mˆeme couleur (on donnera la valeur exacte sous la forme d’une fraction irr´eductible).
b) Sachant que les deux boules tir´ees sont de la mˆeme couleur, d´eterminer la probabilit´e qu’elles soient rouges (on donnera la valeur exacte sous la forme d’une fraction irr´eductible).
2. On revient au cas g´en´eral avec n>2.
a) D´eterminer la loi de probabilit´e de X en fonction de n.
b) D´eterminer l’esp´erance E(X).
c) Pour quelle(s) valeur(s) de n le jeu est-il d´efavorable `a Alice ?
Tournez la page s.v.p. →
Exercice 3 (≃3,75 points). Une machine fabrique en tr`es grand nombre des billes m´etalliques.
Une bille est conforme si son diam`etre est compris entre 14,3 et 15,5 millim`etres.
On consid`ere la variable al´eatoire X qui, `a chaque bille pr´elev´ee au hasard dans la production d’une journ´ee, associe son diam`etre en millim`etres.
On suppose que la variable al´eatoire X suit la loi normale N(m;σ2) de moyenne m et d’´ecart-type σ.
La moyenne m d´epend du r´eglage de la machine.
Les r´esultats seront arrondis `a 10−3 pr`es.
1. On suppose que σ = 0,35. De plus, la machine a ´et´e r´egl´ee de sorte que m= 15.
a) Calculer la probabilit´e qu’une bille pr´elev´ee ne soit pas conforme.
b) D´eterminer le nombre r´eel positif h tel que la probabilit´e que X appartienne `a l’intervalle [m−h;m+h] soit ´egale `a 0,92.
2. La machine est d´esormais r´egl´ee de sorte que m= 14,9.
Quelle doit ˆetre la valeur de l’´ecart-type σ pour que le pourcentage de billes conformes soit ´egal `a 98% ?
Exercice 4 (≃4,75 points). On consid`ere qu’il y a 10% de gauchers dans la population fran¸caise.
1. On pr´el`eve au hasard 300 Fran¸cais et on note X le nombre de gauchers dans cet ´echantillon.
a) Quelle loi suit la variable al´eatoire X?
b) D´eterminer la probabilit´e pour qu’on ait au moins 13% de gauchers dans l’´echantillon (arrondir
`a 10−3 pr`es).
c) D´eterminer la probabilit´e pour qu’on ait entre 7% et 13% de gauchers dans l’´echantillon (arrondir
`a 10−3 pr`es).
2. D´eterminer la taille de l’´echantillon pour qu’on ait entre 7% et 13% de gauchers dans l’´echantillon avec une probabilit´e de 0,99.
Fin du devoir
