Solutionnaire au devoir 1
diagramme en bâtons des résultats du devoir 1
(quelques notes dépassent 20 grâce au problème bonus) 17 étudiant(e)s inscrit(e)s dans le cours les notes sur 20 0510152025
FIG. 1.
(1) [4 points] Considerons une exp´erience al´eatoire o`u on ´etudie la capacit´e d’escar- gots `a r´esister au courant d’eau. On souhaite d´eterminer si l’esp`ece d’escargots est ind´ependante de cette capacit´e. L’escargot est attach´e `a une pierre lisse, on l’expose au courant d’eau pour mesurer la capacit´e `a r´esister au courant. Supposons pour une telle exp´erience que la probabilit´e d’appartenir `a une esp`ece particuli`ere A et d’ˆetre capable `a r´esister au courant d’eau est0.40. La probabilit´e qu’un escargot a r´esist´e est 0.46, and supposons de plus que l’esp`ece A repr´esente63% d’escargot de l’´etude.
(ii) Est-ce que les ´ev`enements sont ind´ependants ?
⊳Notons A l’´ev`enement “appartient `a l’esp`eceA” etR l’´ev`enement “r´esiste au courant”. L’e´ev`enementARest donc “appartient `a l’esp`eceAet est capable `a r´esister au courant d’eau”, et on a
P(AR) = 0.40.
De plus, on connait que
P(R) = 0.46, et
P(A) = 0.63.
(a) Ici il s’agit de la probabilit´e conditionnelle deRsiA: P(RkA) = P(RA)
P(A) = 0.4
0.63 = 0.6349206...≈0.63.
(b) On s’int´eresse de la probabilit´e conditionnelle deAsiR: P(AkR) = P(AR)
P(R) = 0.4
0.46 = 0.8695652...≈0.87.
(c) (i) Non, parce que l’´ev`enementARn’est pas impossible :P(AR) = 0.40>0.
(ii) Non, parce que on a
P(AR) = 0.406= 0.2898...= 0.46·0.63 =P(A)P(R).
Une autre solution :
P(A) = 0.636= 0.87 =P(AkR).
⊲ (2) [4 points] Une ´ecologiste ´etudie des effets de pr´edation d’aigles royaux sur le com- portement des lapins de garenne. Elle apercevoit un aigle royal avec la probabilit´e 0.2 durant une heure d’observation, un lapin de garenne avec la probabilit´e 0.5, et tous les deux avec la probabilit´e0.15.
(a) Trouvez la probabilit´e qu’elle aperc¸oive un aigle royal ou un lapin de garenne.
(b) Trouvez la probabilit´e qu’elle n’aperc¸oive ni l’un ni l’autre.
10 15 20
FIG. 2. La boˆıte `a moustaches des r´esultats du devoir 1. Les notes : moyenne µ = 15.18, m´ediane M = 16, minimale6, maximale23. Statistiquement, il n’y a pas des valeurs extrˆemes (“outliers”).
(c) Trouvez la probabilit´e conditionnelle que l’´ecologiste aperc¸oive un lapin de ga- renne si elle a vu un aigle. Comment peut-on interpr´eter ce r´esultat ? Comparez avec la probabilit´e total `a apercevoir un lapin.
⊳ Notons par A l’´ev`enement “elle aperc¸oit un aigle” et par L “elle aperc¸oit un lapin”. On a
P(A) = 0.2, P(L) = 0.5, P(AL) = 0.15.
(a) L’´ev`enement “elle aperc¸oit un aigle royal ou un lapin de garenne” estA∪L, la r´eunion de deux ´ev`enements. On a, d’apr`es le principe d’inclusion/exclusion :
P(A∪L) =P(A) +P(L)−P(AL) = 0.2 + 0.5−0.15 = 0.55.
(b) L’´ev`enement “elle n’aperc¸oit ni l’un ni l’autre” s’exprime de fac¸on ensembliste comme le complementaire auA∪L, c.`a.d.(A∪L)c. On a
P((A∪L)c) = 1−P(A∪L) = 1−0.55 = 0.45.
(c) La probabilit´e qui nous int´eresse, c’est la probabilit´e conditionnelle de l’´ev`enement LsiA. On la calcule comme suit :
P(LkA) = P(LA)
P(A) = 0.15
0.2 = 0.75.
Visiblement, cette probabilit´e est sup´erieure `a la celle-ci `a apercevoir un lapin : P(LkA) = 0.75>0.5 =P(L).
f(x) 0.02 0.11 0.2 0.6 0.07 (a) [1 point] Calculez la moyenne de la v.a.X.
(b) [2 points] Calculez l’´ecart-type de la variable al´eatoireX.
(c) [1 point] Calculez la probabilit´e que le nombre de battements par seconde est au moins8.
⊳(a)µ= 6·0.02 + 7·0.11 + 8·0.2 + 9·0.6 + 10·0.07 = 8.59.
(b) On a :
E(X2) = 62·0.02 + 72·0.11 + 82·0.2 + 92·0.6 + 102·0.07 = 74.51, (EX)2 =µ2 = 8.592 = 73.7881,
d’`u on conclut :
varX =E(X2)−(Ex)2 = 74.51−73.7881 = 0.7219, et enfin
σ(X) = √
varX =√
0.7219 = 0.849647.
(c) On a :
P[X≥8] = P[X= 8] +P[X = 9] +P[X= 10] = 0.2 + 0.6 + 0.07 = 0.87.
⊲ (4) [4 points] On ´etude un test diagnostique pour un type particulier de cancer. Si une personne est atteinte de ce type de cancer, la probabilit´e que le test soit positif est95
%. Pourtant si la personne n’est pas atteinte de ce type de cancer, la probabilit´e d’ˆetre test´e positif est1%. Supposons que2% de la population sont atteint de ce type de cancer.
(a) Si une personne est tir´e au hasard de cette population, quelle est la probabilit´e qu’elle soit test´ee positive pour cette type de cancer.
(b) Calculez la probabilit´e que la personne test´e ait ce type de cancer sachant qu’elle a ´et´e test´e positive.
⊳D´efinissons les ´ev`enements suivants : – B : “test´e positif”,
– A: “atteinte de ce type de cancer”.
histogramme des résultats du devoir 1
les résultats alphanumériques
fréquence
10 15 20
012345
F
E
D D+ C C+
B B+
A−
A
A+
FIG. 3. L’histogramme des r´esultats du devoir 1.
On connait que
P(BkA) = 0.95, P(BkAc) = 0.01, P(A) = 0.02.
(a) Selon la formule de la multiplication, on a
P(AB) = P(BkA)P(A)etP(AcB) = P(BkAc)P(Ac).
D’ici on conclut :
P(AB) =P(BkA)P(A) = 0.95·0.02 = 0.019,
P(AcB) =P(BkAc)P(Ac) = 0.01(1−P(A)) = 0.01·0.98 = 0.0098, et enfin
P(B) = P(BA) +P(BAc) = 0.019 + 0.0098 = 0.0288 = 2.9%.
(b) Il s’agit de la probabilit´e conditionnelleP(AkB). D’apr`es la d´efinition de cette probabilit´e, on a
P(AkB) = P(AB)
P(B) = 0.019
0.0288 = 0.6597222 = 66%.
⊲
⊳Soient, comme d’habitude, – G=“naissance d’un garc¸on”, – F =“naissance d’une fille”.
On a :P(G) = 0.51,P(F) = 1−0.51 = 0.49.
(a) Dans le cas o`u le couple d´esire avoir3filles et un garc¸on, celui ´etant le dernier de la fratrie, la probabilit´e que le couple r´ealise son voeu est ´egale `a la probabilit´e de l’´ev`enement ´el´ementaireGGGF, c.`a.d.,
P(F F F G) =P(F)P(F)P(F)P(G) = (0.49)3·0.51 = 0.06000099≈0.06,
car on suppose que le sexe d’un enfant est ind´ependant de celui des enfants pr´ecedents.
(b) Dans le cas o`u le couple d´esire avoir3 filles et un garc¸on, ce dernier occu- pant un rang quelconque dans la fratrie, la probabilit´e est ´egale `a la probabilit´e de l’´ev`enement{F F F G, F F GF, F GF F, GF F F}qui consiste de quatre ´ev`enements
´el´ementaires distincts. On a :
P{F F F G, F F GF, F GF F, GF F F} = P(F F F G) +P(F GF F) +P(F GF F) +P(GF F F)
= 4·P(F)3·P(G)
= 4·(0.49)3·0.51
= 0.2400040
≈ 0.24.
⊲ (6) (probl`eme bonus) [3 points] Soient Aet B deux ´ev`enements quelconques. Suppo- sons queAetBsont `a la fois ind´ependants et disjoints (ils s’excluent mutuellement).
Qu’est-ce qu’on peut dire deAetB?
⊳CarAetB sont ind´ependants, on a
P(AB) = P(A)P(B).
Au mˆeme temps, carAetB s’excluent mutuellement, on en d´eduit P(AB) =P(A∩B) =P(∅) = 0.
Cela implique que
P(A)P(B) = 0,
c.`a.d., soitAsoitBa la probabilit´e0(ou bien tous les deux).
En somme : A et B sont `a la fois ind´ependants et mutuellement exlusifs si et seulement si au moins l’un d’entre a la probabilit´e0. ⊲ R L’histogramme 3 e ´et´e cr´e´ee avec la commande suivante :
> hist(x,main="histogramme des rsultats du devoir 1", + breaks=c(6,8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,23),
+ xlab="les resultats alphanumeriques",ylab="frequence",freq=TRUE, + labels=c("F","E","D","D+","C","C+","B","B+","A-","A","A+")) Warning message:
In plot.histogram(r, freq = freq1, col = col, border = border, angle = angle, the AREAS in the plot are wrong -- rather use freq=FALSE
