Introduction `a la biostatistique – Mat 2779
L’´et´e 2010
Solutionnaire `a l’examen d’entraˆınement de mi-session
(1) Oui, par exemple si on pose
P{s1}=P{s3}=P{s7}=P{s4}=P{s6}= 0, P{s5}= 1
12, P{s8}= 1 6, P{s3}=P{s9}=P{s10}= 1
4. (2) (a) Discr`ete.
(b)
1 2 3 4 5 6
0.00.10.20.30.4
FIG. 1.
(c)µ=E(X) = 1·f(1) + 2·f(2) +. . .+ 6·f(6) = 3.85.
(d) var(X) = (1−µ)2·f(1) + (2−µ)2·f(2) +. . .+ (6−µ)2·f(6) = 2.1275.
(e)σ(X) = p
var(X) = 1.458595.
(f+g) On trouve d’abord la fonction de r´epartition : F(1) = P[X ≤ 1] = 0.1, F(2) = P[X ≤2] = 0.1 + 0.05 = 0.15, et cetera :
x 1 2 3 4 5 6
F(x) 0.1 0.15 0.35 0.75 0.8 1.0
1
2
Les valeurs de F dans les intervalles [n, n+ 1) sont constantes, voir la figure 2 dans (h) ci-dessous.
Maintenant il est clair que la valeur m´ediane est4:
P[X ≤4] = 0.75≥0.5, P[X ≥4] =P{4,5,6}= 0.65≥0.5.
Ici, la valeur m´ediane est unique. Par exemple, 3 n’est pas une m´ediane carP[X ≤ 3] = 0.35<0.5, tandis que5ne l’est pas carP[X ≥5] = 0.25<0.5.
(h)
0 2 4 6 8
0.00.20.40.60.81.0
fonction de distribution cumulative
x
F(x)
FIG. 2.
(i)0.65.
(j)0.65.
(k)Q1 = 3, randis que4et5satisfont tous les deux ma d´efinition deQ3. Pour cette raison, on poseQ3 = 4.5, leur moyenne arithm´etique. (Merci `a Marie-Pier pour avoir remarqu´e que 5est une valeur possible pourQ3et pas seulement4).
(l) La figure 3 montre la boˆıte `a moustache que j’ai produit sans utiliser R. C’est une boˆıte
`a moustache corr´espondant `a une variable al´eatoire discr`ete plutˆot qu’`a un ´echantillon de donn´ees. L’usage d’une telle boˆıte dans ce contexte n’est pas habituel.
(m) Il suffit de noter que les valeurs possibles de la v.a.X2 sont les carr´es des valeurs de X, et la probabilit´eP[X2 =a2]est ´egale `aP[X =a]. De cette mani`ere, on obtient :
x 1 4 9 16 25 36
f(x) 0.1 0.05 0.2 0.4 0.05 0.2
(n) var(2X) = 22var(X) = 4·2.1275 = 8.52. La variance est une fonction quadratique.
(o) Non : si on pose Y = X, o`u X est notre variable, on obtient que var(X +Y) = var(2X) = 4varX 6=varX+varX.
(3) Un calcul un peu fatiguant.Xa pour valeurs0,1,2,3. On a :
-P[X= 0]est la probabilit´e de tirer uniquement des g´elules blanches : 12 ·23 · 34 = 14.
3
1 2 3 4 5 6
FIG. 3.
-P[X = 1]est la probabilit´e de la r´eunion de trois ´ev`enements :RBB, BRB, BBR, qui est ´egale `a
1 2· 2
3 ·3 4 +1
2 · 1 3· 3
4 +1 2 ·2
3 · 1 4 = 11
24. Et cetera. La r´eponse :
X 0 1 2 3
f(x) 246 11 24
11 24
1 24
(4) (a) Non (comme on a not´e dans la classe d’hier).
(b) On utilise la formule de Bayes pour obtenir : P(MkB+) = 4
31.
(5) Soit X le nombre des r´eponses corr´ectes. La loi deX est binˆomiale, avec N = 6 et p = 13. Pour chaque probl`eme, le choix est entre une r´eponse correcte (avec la probabilit´e p= 1/3, car elle est choisie au hasard), et la r´eponse incorrecte (avec la probabilit´eq= 2/3).
La formule pour la probabilit´e de l’´ev`enement[X = i] peut ˆetre trouv´ee dans les notes de cours 6, page 3 (cf. exemple 5.2). On a donc,
P[X ≥3] = 1−P(0)−P(1)−P(2) = 1−(2/3)6−6·(1/3)(2/3)5−15·(1/3)2(2/3)4 = 0.3196159.
Ici,6 =C61et15 =C62sont les coefficients binomaux.
En effet,31%, c’est pas si mal que c¸a !
(6) La fonction gausienne est sym´etrique autour de sa moyenne. On en conclut que 160 et 172 sont deux valeurs sym´etriques autour de la moyenne, qui doit ˆetre ´egale `a
160 + 172
2 = 166.
De plus, nous avions mentionn´e que l’aire de la courbe sous l’intervalle [µ−σ, µ+σ] est environ 68%, qui indique que la diff´erence entreµ = 166est160 (ou bien 172) est ´egale `a l’´ecart-type :σ = 6.
4
(7) Ici on peut dire beaucoup. Il faut surtout payer attention `a la tendance centrale (c.`a.d. : qu’est-ce qui se passe avec les moyennes ?), ainsi qu’`a la tendence de dispersion (qu’est- ce qui se passe avec les dispersions des ´echantillons, comme exprim´ee par exemple par les I.I.Q.) ? Je vous laisse une analyse plus d´etaill´ee...
(8) Notons les diagrammes sur la figure 3 par (a) et (b), et sur la figure 4 par (c) et (d) (c’est ce que j’ai oubli´e `a faire). Alors, les diagrammes (a) et (b) sont plus ou moins sym´etriques ; (a), (c) et (d) sont assur´ement unimodales ; (b) est bimodale ; (c) est d´es´equilibr´e vers la gauche ; (d) est d´es´equilibr´e vers la droite.
(9) La r´eponse correcte est (g).
