L’´et´e 2010
Cours 2 — le 6 mai 2010
2.1. Annonce. Le cours 4 du jeudi 13 mai aura lieu dans la salle de classe usuelle (CBY B202), et pas dans le CUBE.
2.2. Lecture sugg´er´ee. Biostatistique sous la direction de Beauscart, 1.1.6–1.2.4 (pages 20–26). Les notes suivantes sont supplementaires.
2.3. Exemples des ensembles probabilis´es finis.
Exemple 2.1. Si la pi`ece de monnaie est ´equilibr´ee, alors la probabilit´e d’avoir pile est ´egale
`a la probabilit´e d’avoir face, et toutes les deux sont ´egales `a1/2: P(0) =P(1) = 1
2,
et l’espaceS ={0,1}est ´equiprobable. Si la pi`ece est fausse, alors P(0) =p, P(1) =q,
o`u
p+q = 1, et, en g´en´eral,
p6=q.
Exemple 2.2. Pareillement, si le d´e est ´equilibr´e, alors les probabilit´es de tous les chiffres sont ´egales entre eux,
P(i) = 1
6 quel que soiti= 1,2,3,4,5,6, et l’espace fondamental
S ={1,2,3,4,5,6}
est ´equiprobable.
Exemple 2.3. L’ensemble fondamental
S={F, G}
qui correspond `a l’´ev`enement al´eatoire de la naissance d’une fille ou d’un garc¸on, peut ˆetre probabilis´e, par exemple, en posant
P(G) =P(F) = 1 2.
1
C’est un mod`ele approximatif de la v´erit´e, car d’habitude le nombre des naissances de garc¸ons est sup´erieure au nombre des naissances de filles. Par exemple, en 2005 en France nombre de naissances ´etait 377920 filles et 396680 garc¸ons, c.`a.d., la probabilit´e d’avoir un garc¸on ´etait ´egale `a 51.2 % :
P(G) = 396680
396680 + 377920 ≈0.512...
Exercice 2.4. Soit E = {s1, s2, s3} un ensemble fondamental qui provient d’une certaine exp´erience al´eatoire. Combien d’´ev`enements peut-on envisager sur cet ensemble ?
Il y en a 23 = 8, puisque l’ensemble S contient 3 ´el´ements. Voici la liste compl`ete de toutes les ´ev´enements :
∅,{s1},{s2},{s3},{s1, s2},{s1, s3},{s2, s3},{s1, s2, s3}.
Exercice 2.5. Dans le mˆeme ensemble fondamentalS, d´eterminez les probabilit´es des ´ev`enements
´el´ementairess1, s2, s3 sachant que
P{s1, s2}= 7
12, P{s2, s3}= 3 4.
Le complementaire de{s1, s2}est l’´ev`enement ´el´ementaire{s3}, donc on a P(s3) = 1−P{s1, s2}= 1− 7
12 = 5 12.
Maintenant on a, puisque les ´ev`enementss2 ets3 s’excluent mutuellement, P(s2) =P{s2, s3} −P(s3) = 3
4 − 5 12 = 1
6. Finalement,
P(s1) =P{s1, s2} −P(s2) = 7 12− 1
6 = 5 12.
Remarque 2.6. Si l’ensemble fondamental S est infini, on ne peut pas, en g´en´eral, d´efinir la valeur d’une fonction de probabilit´e pour chaque sous-ensemble de S. Ici, la th´eorie math´ematique devient plus raffin´ee. On sp´ecifie d’abord la famille des sous-ensembles “rai- sonnables” deS(appel´es ensembles bor´eliens),A⊆S, qui joueront le rˆole des ´ev`enements, et la probabilit´e P(A) n’est d´efinie que pour les sous-ensembles bor´eliens de S. Pourtant, en pratique, tous les sous-ensembles qui peuvent ˆetre d´efinis de mani`ere constructive ou lo- gique, sont toujours bor´eliens. Pour cette raison, nous allons travailler avec les ensembles fondamentaux infinis en utilisant le sens commun, tout en ´evitant la th´eorie math´ematique pr´ecise.
2.4. Probabilit´e conditionnelle. SoientSun ensemble probabilis´e,AetEdeux ´ev`enements quelconques. Supposons queP(E)>0.
Si on suppose que l’´ev`enementE s’est d´ej`a produit, alors rien au-dehors deEn’importe.
Sous cette condition, la probabilit´e du complementaireEc devient nulle.
S
A E
FIG. 1. La probabilit´e conditionnelle deAsiE.
La probabilit´e de A est maintenant ´egale `a la rapport entre la probabilit´e de la partie communeA∩E et la probabilit´e deE. Cette quantit´e s’appelle la probabilit´e conditionnelle deAsiE :
(2.1) P(AkE) = P(A)
P(E).
On note la probaiblit´e conditionnelle aussi parP(A|E),P(A/E), ou bienPE(A).
La probabilit´e conditionnelle poss`ede touts les mˆemes propri´et´es que la probabilit´e usuelle.
Exemple 2.7. Une famille a deux enfants, au moins un parmi lesquelles ´etant une fille. Quelle est la probabilit’´e que la famille ait deux filles ?
Il faut d’abord pr´eciser l’ensemble fondamental. Car il ’sagit d’une famille avec deux enfants, le choix le plus naturel est le suivant :
S ={F F, F G, GF, GG}.
Supposons, pour des raisons de simplicit´e, que
P(G) =P(F) = 1 2. Alors, l’espaceSdevient ´equiprobable :
P(GG) = . . .= 1 4.
L’´ev`enementE, qui s’est d´ej`a produit, c’est que la famille a au moins une fille. Du point de vue ensembliste,E correspond `a l’ensemble
E ={F F, F G, GF}.
L’´ev`enement A, dont la probabilit´e conditionnele si E nous int´eresse, c’est d’avoir deux filles :
A ={F F}.
On a, ´evidemment,
P(E) = 3
4, P(A) = 1 4.
Maintenant, on utilise la formule (2.1), pour en d´eduire : P(AkE) = 1/4
3/4 = 1 3.
2.5. Th´eor`eme de la multiplication. La formule (2.1) implique
(2.2) P(A∩E) = P(AkE)P(E) = P(E)P(AkE).
Cette formule ´evidemment reste vrai mˆeme sans l’hypoth`ese queP(E)>0.
Pour simplifier la notation, on va ´ecrire
AB =A∩B.
Donc, si Aet B sont deux ´ev`enements, alors AB note l’´ev`enement “A etB” plutˆot que le produit deAetB (qui n’est pas d´efini pour les ensembles quand mˆeme). La mˆeme conven- tion s’applique aux familles `a3ensembles et plus :
ABC =A∩B∩C,
A1A2. . . An =A1∩A2∩. . .∩An.
On peut re-´ecrire (2.2), en remplac¸antAetE parA2etA1respectivement, comme P(A1A2) =P(A1)P(A2kA1).
D’ici, on peut d´eduire par r´ecurrence la r´esultat suivant.
Th´eor`eme 2.8 (Th´eor`eme de la multiplication).
SoientA1, A2, . . . , Andes ´ev`enements quelconques. Alors, on a
P(A1A2. . . An) =P(A1)P(A2kA1)P(A3kA1A2). . . P(AnkA1A2. . . An−1).
Exemple 2.9. L’exemple sur la page 23 de Biostatistique sous la direction de Beauscart.
2.6. Th´eor`eme de Bayes. SoientSun ensemble fondamental, etA1, A2, . . . , Andes ´ev`enements surS. On dit que la collectionA1, A2, . . . , Anforme une partition deSsi
– lesAi s’excluent mutuellement, c.`a.d., sii6=j, on aAi∩Aj =∅, et – lesAi recouvrentS :
A1∪A2∪. . . An=S.
6 S
A 1 A2
A3 A 4
A 5 A
FIG. 2. Une partition deSen six ´ev`enements.
Remarque 2.10. Si les ´ev`enementsA1, A2, . . . , Anforment une partition deB, alors on a P(B) =P(A1) +P(A2) +. . .+P(An).
La preuve est obtenue par r´ecurrence de la propri´et´e de la fonction de probabilit´e : siAetC s’excluent mutuellement, alors on a
P(A∪C) =P(A) +P(C).
Th´eor`eme 2.11 (Th´eor`eme de Bayes). SoitA1, A2, . . . , Anune partition de l’ensemble pro- babilis´eS, et soitB un ´ev`enement. Alors on a
(2.3) P(AikB) = P(BkAi)P(Ai)
P(B) , ou, de fac¸on ´equivalente,
(2.4) P(AikB) = P(BkAi)P(Ai)
P(BkA1)P(A1) +P(BkA2)P(A2) +. . .+P(BkAn)P(An).
S
A 1 A 2 ... Ai ... A n
B
FIG. 3. Une lllustration au th´eor`eme de Bayes.
D´emonstration. La formule (2.4) est une cons´equence imm´ediat de la d´efinition de la proba- bilit´e conditionnelle combin´e avec la formule de la multiplication. On a
P(AiB) =P(Ai)P(BkAi), d’o`u
P(AikB) = P(AiB)
P(B) = P(BkAi)P(Ai) P(B) . Pour en d´eduire la formule (2.4), veuillez noter que les ensembles
A1B, A2B, . . . , AnB
sont mutuellement exclusifs, en effet ils forment une partition deB, et par cons´quent on a P(B) =P(A1B) +P(A2B) +. . .+P(AnB).
Au mˆeme temps,
P(AiB) =P(BkAi)P(Ai).
Exemple 2.12. Des essais cliniques montrent que le teste donne un r´esultat positif `a 95 % si la personne est atteinte `a une maladie, et le r´esultat n´egatif `a 99 % quand la personne n’est pas affect´ee. Sur une population avec 10 % des malades, quelle est la probabilit´e qu’une personne test´ee positive soit effectivement malade ? La mˆeme question, avec 1 % des malades dans une population.
La population dont le probl`eme parle forme l’ensemble fondamental, et il est l’hypoth`ese raisonnable, au moins `a la premi`ere approximation, de presumer que l’espace est ´equiprobable, c.`a.d., la probabilit´e de tomber malade est la mˆeme pour tous les individus.
La partition de S consiste de deux ´ev`enements : A1 est l’ensemble des malades, A2 est l’ensembles des personnes saines. C’est bien une partition : elle recouvreS(chaque personne est ou malade, ou saine), et les deux ´ev`enements s’exclue mutuellement.
L’ensembleB est l’´ev´enement “ˆetre test´e positif”.
en deux evenements A 1 :
les malades
A2: les saines testes
positive B:
S, la population specifique
partition de Sune
FIG. 4. L’illustration au probl`eme de l’exemple 2.12.
On a :P(A1) = 0.1, donc P(A2) = 0.9. De plus, on sait les probabilit´es conditionnelles deB siAi, notamment,P(BkA1) = 0.95etP(BkA2) = 0.01.
La formule de Bayes (2.4) nous donne
P(A1kB) = P(BkA1)P(A1)
P(BkA1)P(A1) +P(BkA2)P(A2)
= 0.95×0.1 0.95×0.1 + 0.01×0.9
= 0.9134615. . .
≈ 91.3%.
Cette conclusion est raisonnable.
Au mˆeme temps, le calcul pareil pour la population `a 1 % des malades nous donne la figure de 49 %, donc le test dans ce cas-l`a n’est pas fiable.
