L’´et´e 2010
Cours 1 — le 4 mai
1.1. Lecture sugg´er´ee. Biostatistique sous la direction de Beauscart, 1.1.1–1.1.6 (pages 15–20). Veuillez noter que les notes ci-dessous ne remplacent pas le manuel de cours, elles sont complimentaires.
1.2. Chaque r´esultat possible d’une exp´erience al´eatoire s’appelle un ´ev`enement ´el `mentaire.
L’ensemble S des tous les ´ev`enements ´el´ementaires associ´es `a une exp´erience al´eatoire est dit l’ensemble fondamental.
Exemple 1.1. Le lancer d’une pi`ece de monnaie r´esulte en pile ou face. Donc, l’ensemble fondamentalSdans ce cas consiste de deux ´ev`enements ´el´ementaires,
S ={pile, f ace},
qui en th´eorie de probabilit´es sont not´ees le plus souvent par0et1: S ={0,1}.
Exemple 1.2. Si l’exp´erience al´eatoire est le lancer d’un d´e `a six faces, alors un ´ev`enement
´el `mentaire qui en r´esulte est un chiffre entre1et6. L’ensemble fondamental est S ={1,2,3,4,5,6}.
Exemple 1.3. `A l’“exp´erience al´eatoire” de naissance de4enfants dans une famille on peut associer les ´ev`enements ´el´ementaires qui consistent d’une suite de lettresF (pour fille) etG (pour garc¸on) indiquant le sexe des enfants, par exemple,F F GF, F GF G, et cetera. L’es- pace fondamentalS consiste de24 = 16suites, c.`a.d. de toutes les combinaisons possibles de filles et de garc¸ons :
S ={F F F F, F F F G, F F GF, F F GG, . . . , GGGG}.
Exemple 1.4. Si l’exp´erience al´eatoire est de rattraper une maladie particul`ere, alors l’espace fondamental consiste de deux ´etats : “malade” et “saine”.
S={M,M¯}.
Exemple 1.5. L’exp´erience al´eatoire est la mutation ponctuelle d’un seul nucl´eotide (acide d´esoxyribonucl´eique) particulier d’une macromolecule de l’ADN pendant une r´eplication.
Car il y a quatre nucl´eotides not´es par les lettres A, G, T, C, l’espace fondamental consiste de quatre ´ev`enements ´el´ementaires,
S ={A, T, G, C}.
1
Par exemple, si le nucl´eotide original ´etait G, alors l’´ev`enementA signifie que pendant la r´eplication, Ga ´et´e remplac´e parA, et cetera. L’´ev`enementGsignifie qu’il n’y avait pas de mutation.
1.3. Un ´ev`enement,A, est tout simplement un sous-ensemble de l’ensemble fondamental : A⊆S.
En autres mots, un ´ev`enementest une collection quelconque des ´ev`enements ´el´ementaires.
Exemple 1.6. Tout ´ev`enement ´el `mentaire d´efinit un ´ev`enement. Par exemple, dans le jeu du pile ou face, avoir une pile est un ´ev`enement :
A={pile}.
Exemple 1.7. Dans le jeu de d´es, avoir un chiffre paire est un ´ev`enement : A={2,4,6}.
Exemple 1.8. Dans l’exemple avec la naissance de 4enfants dans une famille, avoir3filles et un garc¸on est un ´ev`enement, qui consiste de quatre ´ev`enements ´el´ementaires :
A={F F F G, F F GF, F GF F, GF F F}.
Exemple 1.9. Quel que soit l’ensemble fondamentalS, l’ensemble vide,
∅={x:x 6=x},
qui ne contient aucun ´el´ement (aucun ´ev`enement ´el `mentaire), est un ´evenement, car on a toujours
∅ ⊆S.
Un tel ´ev`enements’appelle l’´ev`enement impossible.
Par exemple, “avoir 5 filles” est un ´ev`enement impossible dans une famille `a quantre enfants. Cet ´ev`enement est donc exprim´e par l’ensemble vide.
Exemple 1.10. L’´ev`enementS lui-mˆeme, en tant qu’un sous-ensemble de lui-mˆeme, S ⊆S,
s’appelle l’´ev`enement certain.
1.4. Il y a une correspondence entre les op´erations ensemblistes sur les ´ev`enements et les connexions logiques.
1.4.1. L’inclusion
A⊆ B correspond `a l’implication logique “siA, alorsB”.
Exemple 1.11. Si l’enfant ain´e est une fille,
A ={F GGG, F GGF, F GF G, F GF F, F F GG, F F GF, F F F G, F F F F}, alors il y a au moins une fille dans la famille,
A⊆B, o`u
B =S\ {GGGG}
note l’´ev`enement“il y a au moins une fille”, et le symbole\ est la diff´erence ensembliste : S\ {GGGG}consiste de tous les ´ev`enements ´el´ementaires saufGGGG.
1.4.2. L’´ev`enement
Ac =S\A,
le compl´ementaire deAdansS, correspond, au niveau logique, `a l’´ev`enement“nonA”. C’est la n´egation deA.
Par exemple, siB est comme dans l’exemple 1.11, alorsBc est l’´ev`enement “il n’y a pas des filles”, c.`a.d.,
Bc ={GGGG}.
Sur le diagramme de Venn, le complimentaire est not´e de fac¸on suivante (voir la figure 1).
c
A S
A
FIG. 1. Le compl´ementaire d’un ´ev`enementA.
1.4.3. La r´eunion de deux ´ev`enements Aet B est l’´ev`enement not´eA∪B qui consiste de tous les ´ev`enements ´el´ementaires appartenant soit `aAsoit `aB. Du point de vue logique, cela correspond `a l’´ev`enement “AouB”. Voir la figure 2.
1.4.4. L’intersection de deux ´ev`enementsAetBest l’´ev`enement not´eA∩Bqui consiste de tous les ´ev`enements ´el´ementaires appartenant `a la fois `aAet `aB. Du point de vue logique, cela correspond `a l’´ev`enement “AetB”. Voir la figure 3.
B A
FIG. 2. La r´eunion des ´ev`enementsAetB.
B A
FIG. 3. L’intersection des ´ev`enementsAetB.
B A
FIG. 4. La diff´erenceA\B des ´ev`enementsAetB.
1.4.5. La diff´erence deAetB consiste de tous les ´ev`enements ´el´ementaires qui appartiennt
`a A mais n’appartiennent pas `a B. Cela correspond `a l’´ev`enement “A et non B”. Voir la figure 4.
On peut exprimerA\B comme suit :
A\B =A∩Bc.
1.4.6. Deux ´ev`enementsAetBsont incompatibles, ou mutuellement exclusifs, si leur inter- section est vide :
A∩B =∅.
(Voir la figure 5).
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111
0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000
1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111
B A
FIG. 5. Deux ´ev`enements incompatibles.
Exemple 1.12. Les ´ev`enements “avoir 3 filles” et “avoir 2 gars¸ons” dans une famille `a 4 enfants sont incompatibles.
1.4.7. Voil`a quelques propri´et´es utiles des op´erations ensemblistes : (A∪B)c =Ac ∩Bc,
(A∩B)c =Ac ∪Bc, A∪Ac =S, A∩Ac =∅.
1.5. Probabilit´e.
1.5.1. ´Etant donn´e un ensemble fondamental finiS, la fonction de probabilit´e surSest une fonction qui associe `a chaque ´ev`enementA⊆S sa probabilit´e,P(A), de fac¸on que
(1) 0≤P(A)≤1, (2) P(S) = 1,
(3) siAetB sont mutuellement exlusifs, alorsP(A∪B) = P(A) +P(B).
Un ensemble fondamental fini S muni d’une fonction de probabilit´e est dit un ensemble probabilis´e fini.
1.5.2. Quelques propri´et´es de probabilit´e qui peuvent ˆetre d´eduites des axiomes.
– Soient A1, A2, . . . , An des ´ev`enement mutuellement exclusifs (s.`a.d. deux `a deux dis- joints : sii6=j, alorsAi∩Aj =∅). Alors on a
P(A1∪A2∪. . .∪An) =P(A1) +P(A2) +. . .+P(An). – P(∅) = 0.
– siA⊆B, alorsP(A)≤P(B).
– P(A\B) =P(A)−P(A∩B).
– Quels que soientA, B, on a
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) (le principe d’inclusion/exclusion).
1.5.3. Afin de d´efinir une fonction de probablit´e sur un ensemble fini, il suffit de d´efinir la valeur de probabilit´e de chaque ´ev`enement ´el´ementaire. Si
S ={x1, x2, . . . , xn},
choisissons pour tous lesiles valeurspi,0≤pi ≤1, de mani`ere que p1+p2 +. . .+pn = 1.
Maintenant, quel que soitA⊆S, on pose
P(A) = X
xi∈A
pi,
la somme de probabilit´es de tous les ´ev`enements ´el´ementairesxi qui appartiennent `aA.
1.5.4. Par exemple, la probabilit´e uniforme surS est obtenue en posant pi = 1
n
pour tousi= 1,2, . . . , n. Les ´ev`enemens ´el´ementaires sont maintenant ´equiprobables. Pour un ´ev`enement quelconqueA⊂S, on a
P(A) = |A|
|S| = |A|
n = nombre des cas favourables `aA nombre des cas total , o`u le symbole|A|note le nombre des ´el´ements dansA.
On verra des exemples dans le cours 2.
