Cours de math´ematiques
Probabilit´ es
1 Vocabulaire
D´efinition 1. Une exp´erience al´eatoire est une exp´erience dont le r´esultat est li´e au hasard.
Chaque r´esultat possible est appel´e une ´eventualit´e, l’ensemble des ´eventualit´es est appel´e uni- vers.
Exemple 1. On consid`ere le lancer d’un d´e `a six faces, l’univers estΩ ={1,2,3,4,5,6}.
D´efinition 2. On appelle ´ev´enement un ensemble d’´eventualit´es, c’est `a dire une partie de l’univers. On distingue :
– ´ev´enement ´el´ementaire : il ne contient qu’une seule ´eventualit´e.
– ´ev´enement impossible : il ne contient aucune ´eventualit´e.
– ´ev´enement certain : il contient toutes les ´eventualit´es.
Exemple 2. On consid`ere le lancer d’un d´e `a six faces.
– le 5 sort : A={5}, ´ev´enement ´el´ementaire.
– un multiple de 2 sort : B ={2,4,6}.
– un multiple de 7 sort : C =∅, ´ev´enement impossible.
– un nombre inf´erieur `a 7 sort : D= Ω, ´ev´enement certain.
D´efinition 3.
– On note E1∩E2 l’intersection de deux ´ev´enements, c’est l’ensemble des ´eventualit´es ap- partenant `a E1 et`a E2.
– On noteE1∪E2 l’unionde deux ´ev´enements, c’est l’ensemble des ´eventualit´es appartenant
`
a E1 o`u `a E2.
– On note E le contraire de l’´ev´enement E, c’est l’ensemble des ´eventualit´es qui n’appar- tiennent pas `a E.
– Deux ´ev´enements E1 et E2 sont dits incompatibles si E1∩E2 =∅, c’est `a dire qu’ils ne peuvent se r´ealiser en mˆeme temps.
Exemple 3. Dans l’exemple pr´ec´edent, on a :
A∪B ={2,4,5,6} A∩D={5} B={1,3,5} A∩B =∅ donc A et B sont incompatibles Remarque 1.
Ω =∅ ∅= Ω E =E E et E sont incompatibles
www.emmanuelmorand.net 1/3 Ts0809Chap11Cours
Cours de math´ematiques Probabilit´es
2 Notion de Probabilit´ e
D´efinition 4. On consid`ere un univers fini Ω = {e1, e2, . . . en}. Une loi de probabilit´esur Ω est l’association `a chaque ´eventualit´e ei de Ω d’un nombre r´eel pi appel´e probabilit´e tels que : 06pi 61 et p1+p2+· · ·+pn= 1.
Si de plus on a p1=p2=· · ·=pn= 1
n, la loi est dite ´equir´epartie.
Exemple 4. On consid`ere le lancer d’un d´e ´equilibr´e : Ω ={1,2,3,4,5,6} P ={1
6,1 6,1
6,1 6,1
6,1 6} On consid`ere le lancer d’un d´e truqu´e :
Ω ={1,2,3,4,5,6} P ={1 6, 1
12, 1 12,1
6,1 6,1
3}
D´efinition 5. Etant donn´e un univers fini´ Ωmuni d’une loi de probabilit´eP, on appelle proba- bilit´e d’un ´ev´enementE et on noteP(E) la somme des probabilit´espi associ´ees aux ´eventualit´es formant l’´ev´enementE.
Remarque 2.
P(∅) = 0 P(Ω) = 1 06P(E)61
Exemple 5. Calcul de la probabilit´e d’obtenir un nombre pair dans le cas du d´e truqu´e.
Propri´et´e 1. On consid`ere un universΩcontenant n´eventualit´es muni d’une loi de probabilit´e
´equir´epartie P, alors siE est un ´ev´enement contenant p ´ev´entualit´es on a : P(E) = p
n = nombre de cas favorables nombre de cas possibles D´emonstration. au programme.
Exemple 6. Calcul de la probabilit´e d’obtenir un nombre pair dans le cas du d´e ´equilibr´e.
Propri´et´e 2. On consid`ere une loi de probabilit´e P sur un univers fini Ω et deux ´ev´enements E1 et E2, alors P(E1∪E2) =P(E1) +P(E2)−P(E1∩E2).
D´emonstration. au programme.
Corollaire 1. On consid`ere une loi de probabilit´eP sur un univers fini Ω et deux ´ev´enements E1 et E2 incompatibles, alors P(E1∪E2) =P(E1) +P(E2).
D´emonstration. au programme.
Corollaire 2. On consid`ere une loi de probabilit´e P sur un univers fini Ωet un ´ev´enement E, alors P(E) = 1−P(E).
D´emonstration. au programme.
www.emmanuelmorand.net 2/3 Ts0809Chap11Cours
Cours de math´ematiques Probabilit´es
3 Probabilit´ es conditionnelles
D´efinition 6. On consid`ere un univers fini muni d’une loi de probabilit´eP et deux ´ev´enements A et B avec P(A)6= 0. On appelle probabilit´e deB sachantA :
PA(B) = P(A∩B) P(A)
Exemple 7. Calcul de la probabilit´e d’obtenir un num´ero pair sachant que l’on n’a pas obtenu un six dans le cas du d´e truqu´e.
Propri´et´e 3. On consid`ere un univers fini muni d’une loi de probabilit´e P et deux ´ev´enements A et B avec P(A)6= 0 et P(B)6= 0, alors :
P(A∩B) =P(A)×PA(B) =P(B)×PB(A)
D´emonstration. au programme.
Exercice 1. Calcul de la probabilit´e de tirer successivement (sans remise) deux boules rouges dans une urne contenant 7 boules rouges et 13 boules vertes.
D´efinition 7. On consid`ere un univers fini muni d’une loi de probabilit´eP et deux ´ev´enements A et B avec P(A) 6= 0 et P(B) 6= 0. Les ´ev´enements A et B sont dits ind´ependants pour la probabilit´eP siP(A∩B) =P(A)×P(B).
Exemple 8. Obtenir un num´ero pair et obtenir un num´ero multiple de trois dans le cas du d´e
´equilibr´e et du d´e truqu´e.
Propri´et´e 4. On consid`ere un univers fini muni d’une loi de probabilit´e P et deux ´ev´enements A et B ind´ependants, alors :
PA(B) =P(B) et PB(A) =P(A)
D´efinition 8. On consid`ere un univers finiΩ. On dit quek´ev´enementsE1, E2, . . . , Ek forment une partition de Ω si les ´ev´enements Ei sont non vides, deux `a deux incompatibles et si E1∪ E2∪ · · · ∪Ek= Ω.
Remarque 3. SiΩest muni d’une loi de probabilit´eP, on a P(E1) +P(E2) +· · ·+P(Ek) = 1.
Propri´et´e 5. Formule des probabilit´es totales
On consid`ere un univers fini Ω muni d’une loi de probabilit´e P et une partition E1, E2, . . . , Ek
de Ω, alors pour tout ´ev´enement E :
P(E) =P(E∩E1) +P(E∩E2) +· · ·+P(E∩Ek)
D´emonstration. au programme.
Exemple 9. Calcul de la probabilit´e de tirer successivement (sans remise) deux boules de cou- leurs diff´erentes dans une urne contenant 7 boules rouges et 13 boules vertes.
On appelera E l’´ev´enement «tirer deux boules de couleurs diff´erentes» , E1 l’´ev´enement
«tirer une boule rouge au premier tirage» etE2 l’´ev´enement«tirer une boule verte au premier tirage» . On pourra illustrer les calculs au moyen d’un arbre pond´er´e.
www.emmanuelmorand.net 3/3 Ts0809Chap11Cours
