2) Donner la d´efinition de la convergence en probabilit´e

UPMC 2011-2012

Licence L3 - LM 390 - 2`eme session

Examen du 19 Juin 2012. Dur´ee 3h.

Sans documents ni calculatrice ni portable.

Notations : v.a. signifie variable al´eatoire r´eelle. Nest l’ensemble des entiers naturels, N^∗ l’ensemble des entiers naturels sup´erieurs ou ´egaux `a 1,R celui des r´eels, p.s. signifie presque sˆurement.

Question de Cours.

1) Enoncer le th´eor`eme central limite.

2) Donner la d´efinition de la convergence en probabilit´e.

Exercice 1.

(X_n)n∈N et (Y_n)n∈N d´esignent deux suites de v.a. ind´ependantes de mˆeme loi uniforme sur [0,1] (les deux suites sont ind´ependantes et constitu´ees de v.a.

ind´ependantes).

1) D´eterminer la loi du couple (X₁, Y₁).

2) Montrer que la suite _n¹ Pn

i=11_{Xi+Yi≤1} converge quand n tend vers +∞.

Pr´eciser le mode de convergence et justifier.

Exercice 2.

Soit Y une v.a. de loi exponentielle de param`etre λ >0.

1) Soit X une v.a. r´eelle de densit´e f, ind´ependante de Y. On suppose que X ≥0 p. s. Montrer que P(Y > X) = E(e^−λX).

2) Soit (X_i)_i≥1une suite de v.a. r´eelles ind´ependantes entre elles et ind´ependantes de Y telles que pour tout i≥1,X_i poss`ede une densit´e et X_i ≥0 p. s.

a) Montrer que pour tout n ≥1 P(Y >

n

X

i=1

X_i) = Πⁿ_i=1E(e^−λXi) Indication : on pourra utiliser la question 1).

1

b) En d´eduire que

P(Y >

n

X

i=1

X_i) = Πⁿ_i=1P(Y > X_i)

Exercice 3.

Soit (X_n)n≥1 une suite de v.a. ind´ependantes et de mˆeme loi. Pour tout n ≥1 on d´efinit la v.a. Zn:= ¹_nPn

k=1Xk et on suppose que la suite (Zn)n≥1

converge p. s. vers une v. a. Z quand n →+∞.

1) Montrer que la suite ^X_nⁿ converge vers 0 p.s. quand n tend vers +∞.

Indication : on pourra chercher d’ abord une relation liant ^X_nⁿ, Z_n etZn−1. 2) Montrer que Pn

k=1P(|X_k| ≥k)<+∞.

3) a) Soit Y une v.a. Montrer que E(|Y|) = R+∞

0 P(|Y| ≥x)dx.

b) Montrer queE(|Y|)≤P

k≥0P(|Y| ≥k). Indication : on pourra introduire la suite des intervalles deux `a deux disjoints I<sub>k</sub> = [k, k+ 1[ o`u k d´esigne un entier positif ou nul.

4) En utilisant les questions pr´ec´edentes montrer que la v.a.X_nest int´egrable pour tout n≥1.

5) Que peut-on dire de la v.a. Z? Exercice 4.

Soit (Xn)n≥1 une suite de v.a. On consid`ere une suite (in) de v. a. `a valeurs dans N^∗, ind´ependantes de la suite (X_n) et qui converge en probabilit´e vers +∞ lorsque n tend vers +∞.

1) Exprimer la fonction de r´epartition de la v.a.X_in `a l’aide des fonctions de r´epartition des X_k et des r´eels P(i_n=k).

2) On suppose dans cette question que la suite (X_n)n≥1 converge en loi vers une v. a. X quand n tend vers +∞. Montrer que la suite (X_in)n≥1 converge converge en loi vers X.

3) On suppose dans cette question que les v.a. Xn sont ind´ependantes, de mˆeme loi, et v´erifient E(U₁) = 0 et E(U₁²) = 1. Montrer que la suite (Z_n) d´efinie pour tout entier n≥1 par

Z_n = 1

√n

in

X

k=1

X_k

converge en loi et pr´eciser sa limite. Justifier avec soin votre r´eponse.

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