Devoir Surveillé de Mathématiques n o 10

ECS 2 Dur´ee : 4 heures

Devoir Surveill´ e de Math´ ematiques n

10

Remarques : Il est toujours permis d’admettre les r´esultats de questions pr´ec´edentes pour traiter les questions suivantes. Chaque r´eponse doit ˆetre d´emontr´ee et toutes les ´etapes des calculs doivent ˆetre donn´ees. On attachera un soin tout particulier `a la clart´e et `a la propret´e de la r´edaction. Tous les ´etudiants auront le choix entre deux sujets, un de type EDHEC et un autre de type HEC-ESCP Maths II. Ils indiqueront lisiblement sur leur premi`ere copie le sujet qu’ils auront choisi, et ne pourront traiter que les questions de ce sujet. Si un(e) ´etudiant(e) traite une question du sujet qu’il/elle n’a pas indiqu´e en d´ebut de copie, cette question ne sera pas corrig´ee.

1. Sujet type EDHEC Exercice 1.

(1) On dit qu’une variable al´eatoireZsuit une loi exponentielle bilat´erale si une densit´ef deZ est d´efinie pour toutx∈Rparf(x) =¹₂e^−|x|.

(a) V´erifier quef est bien une densit´e de probabilit´e.

(b) D´eterminer la fonction de r´epartition deZ.

(c) Soient Z1 et Z2 deux variables al´eatoires ind´ependantes suivant la loi exponentielle bilat´erale.

D´eterminer une densit´e deZ1+Z2.

(2) Dans cette question, X et Y sont deux variables al´eatoires ind´ependantes suivant toutes les deux la loi exponentielle de param`etre 1. On poseZ=X−Y.

(a) D´eterminer la fonction de r´epartition, puis une densit´e de−Y.

(b) D´eterminer une densit´e deZ et v´erifier queZ suit la loi exponentielle bilat´erale.

(c) Calculer l’esp´erance de Z.

(d) On pose T = |Z|. D´eterminer la fonction de r´epartition de T et v´erifier que T suit une loi exponentielle dont on donnera le param`etre.

Exercice 2. Dans cet exercice, on admet que, si une suite (Tn)n≥1 de variables al´eatoires converge en probabilit´e, alors sa limite est une variable al´eatoire presque sˆurement unique. Plus pr´ecis´ement :

siTn

−→P T et si Tn

−→P T⁰, alorsP(T =T⁰) = 1.

On dit aussi qu’une suite (Un)_n≥1 de variables al´eatoires converge en moyenne vers une variable al´eatoireU si et seulement si, pour toutn∈N^∗, la variable al´eatoire|Un−U|admet une esp´erance et :

n→+∞lim E(|Un−U|) = 0.

Enfin, on rappelle l’in´egalit´e de Markov, valable pour toute variable al´eatoireV `a valeurs positives et admet- tant une esp´erance, `a savoir que, pour toutε >0 :

P(V > ε)≤ E(V) ε .

(1) Dans cette question, on consid`ere une suite (Xn)_n≥1de variables al´eatoires et une variable al´eatoireX toutes d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e (Ω,A, P). Montrer que, si la suite (Xn)_n≥1converge en moyenne versX, alors elle converge en probabilit´e vers X.

On se propose par la suite d’´etudier un exemple montrant que la r´eciproque de cette propri´et´e est fausse. Pour ce faire, on consid`ere une suite (Zn)n≥1 de variables al´eatoires d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e (Ω,A, P), ind´ependantes et suivant toutes la loi de Poisson de param`etreλ >1.

Pour toutn∈N^∗, on pose :

Y_n=

n

Y

k=1

Z_k. (2) (a) D´eterminer P(Y_n6= 0) pour toutn∈N^∗.

(b) Soitεun r´eel>0. Comparer les ´ev´enements [Y_n> ε] et [Y_n6= 0].

(c) En d´eduire que la suite (Yn) converge en probabilit´e vers la variable certaine ´egale `a 0.

(3) (a) Montrer que, si la suite (Yn) convergeait en moyenne vers une variable al´eatoire Y, alors on auraitP(Y = 0) = 1.

(b) Calculer l’esp´erance de Yn pour toutn∈N^∗.

(c) Etablir que E(|Yn−Y|)≥E(Yn)−E(Y), puis d´eterminer lim_n→+∞E(|Yn−Y|).

(4) Conclure.

1

(5) Ecrire une fonction en SciLab qui, `a partir d’un entiern≥1 et d’un r´eelλ >1, r´ealise une simulation de la variable al´eatoireYn.

Exercice 3. Pour toutx∈R, on notebxcla partie enti`ere dex, et on rappelle quebxcest le seul entier tel que : bxc ≤x <bxc+ 1 On consid`ere une variable al´eatoire X d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,A, P) et qui suit la loi exponentielle de param`etreλ >0. On note sa fonction de r´epartition. On pose X₁=bXc, X₂=b10(X−X₁)cet l’on admet queX₁etX₂sont des variables al´eatoires d´efinies elles aussi sur (Ω,A, P).

(1) (a) D´eterminer l’ensemble X1(Ω).

(b) Pour toutk∈X1(Ω), exprimer P(X1=k) en fonction de F.

(c) En d´eduire queX1+ 1 suit une loi g´eom´etrique dont on donnera le param`etre.

(d) D´eterminer E(X1) en fonction de λ.

(2) (a) D´eterminer l’ensemble X2(Ω) et dire ce que repr´esenteX2. (b) Justifier que, pour toutk∈J0,9K, on a :

P(X₂=k) =

+∞

X

i=0

P([X₁=i]∩[X₂=k]),

puis montrer que : ∀k∈J0,9K,P(X2=k) =

+∞

X

i=0

F

i+k+ 1 10

−F

i+ k 10

. En d´eduire que : ∀k∈J0,9K,P(X₂=k) =e^−λk10 1−e^−10λ

1−e^−λ . (3) Montrer queX1et X2 sont ind´ependantes.

Probl`eme 1. Pour toutn∈N<sup>∗</sup>, on consid`ere les fonctions r´eellesf0, f1, ..., fn d´efinies pour toutx∈R+ par fk(x) =x^ke^−x. On note En l’espace vectoriel engendr´e par la f la famille (f0, f1, ..., fn), et on d´esigne pard l’application qui, `a toute fonction de En, associe sa d´eriv´ee.

(1) Montrer que la famille (f0, f1, ..., fn) est une base deEn.

(2) (a) Calculerd(f0), puis montrer que : ∀k∈J1, nK,d(fk) =kfk−1−fk. (b) Montrer quedest un endomorphisme deE_n.

(c) D´eterminer les valeurs propres ded. L’endomorphismedest-il diagonalisable?

(3) (a) V´erifier quedest un automorphisme de E_n. (b) Justifier que, pour toutk∈J1, nK, on a :

d 1

k!fk

= 1

(k−1)!f_k−1− 1 k!fk.

(c) En d´eduire, pour toutj ∈J0, nK, l’expression ded⁻¹(f_j) dans la base (f₀, f₁, ..., f_n).

(4) Montrer que, pour toutj∈N, l’int´egraleIj =R+∞

0 t^je^−tdtconverge et donner sa valeur.

(5) Montrer que l’application qui, `a tout couple (f, g) ∈ E_n², associe hf, gi = R+∞

0 f(t)g(t)e^tdt, est un produit scalaire surE_n.

(6) Par la suite, on notek.kla norme euclidienne associ´ee au produit scalaireh., .i, et on pose : E_n−1= Vect(f0, f1, ..., f_n−1).

(a) Rappeler le th´eor`eme qui assure l’existence d’un unique ´el´ementhdeE_n−1tel que : kfn−hk= inf

g∈En−1

kfn−gk.

On pose d´esormaish=−

n−1

X

j=0

ajfj.

(b) Pour toutk∈J0, n−1K, rappeler pourquoifn−h⊥fk. (c) En d´eduire que, pour toutk∈J0, n−1K, on a :

n−1

X

j=0

a_j(j+k)! + (k+n)! = 0.

(7) On consid`ere la fonctionP d´efinie pour toutx∈Rpar : P(x) =a₀+

n−1

X

j=0

a_j(x+ 1)...(x+j) + (x+ 1)(x+ 2)...(x+n).

(a) V´erifier que, pour toutk∈J0, n−1K, on a : P(k) = 0.

(b) En d´eduire explicitementP, puis v´erifier queP(n) =n!.

(8) (a) Montrer quekfn−hk²=hfn−h, fni.

(b) En d´eduire la valeur de : m= inf

(α0,α1,...,αn−1)∈Rⁿ

Z +∞

0

xⁿ−

n−1

X

k=0

α_kx^k

!² e^−xdx.

2. Sujet type HEC-ESCP Maths II

Probl`eme 2. Dans ce probl`eme, toutes les variables al´eatoires qui interviennent sont d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e (Ω,B, P) et elles sont `a valeurs r´eelles. L’esp´erance d’un variable al´eatoire X est not´ee E(X). Si A est un ´ev´enement de probabilit´e non nulle, on note P(E|A) la probabilit´e de l’´ev´enement E sachantA. Sin∈N<sup>∗</sup>et six<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>sont des r´eels, on note min(x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>) ou min<sub>1≤i≤n</sub>x<sub>i</sub>le plus petit d’entre eux. On rappelle que deux variables al´eatoiresX et Y `a valeurs ≥0 sont ind´ependantes si et seulement si, pour tout (a, b)∈(R+)², on a :

P([X ≤a]∩[Y ≤b]) =P([X≤a])P([Y ≤b]).

De plus, on rappelle qu’une variable al´eatoireXprenant des valeurs≥0 suit la loi exponentielle si et seulement si elle v´erifie la propri´et´e dite d’absence de m´emoire, c’est-`a-dire si, pour tout (x, y)∈(R+)²:

P([X > x+y]|[X > x]) =P([X > y]).

L’objet du probl`eme est l’obtention de diverses propri´et´es de la loi exponentielle.

Partie I : un r´esultat d’analyse.

On consid`ere une fonction r´eelle ϕ continue sur [0,1], et on note M le maximum de |ϕ| sur [0,1]. Pour tout n∈N<sup>∗</sup> et toutv∈[0,1], on noteY<sub>n,v</sub> une variable al´eatoire suivant la loi binomiale de param`etresn, v.

(1) Soitn∈N^∗, soitx∈]0,1[ et soit εun r´eel >0 tels que : 0< x−ε < x < x+ε <1.

(a) Comparer les ´ev´enements [Y_n,v≤nx] et [|Yn,v−nv| ≥n(v−x)] pour toutv∈[x+ε,1].

(b) En d´eduire les in´egalit´es suivantes pour tout v∈[x+ε,1] : P([Y_n,v≤nx])≤ v(1−v)

nε² ≤ 1 4nε².

(c) Justifier d’une fa¸con analogue, pour toutv∈[0, x−ε], l’in´egalit´e : P([Yn,v> nx])≤ 1

4nε². (d) Etablir les in´egalit´es suivantes :

Z 1

x+ε

ϕ(v)P([Yn,v ≤nx])dv

≤M(1−x) 4nε² et

Z x−ε

0

ϕ(v) [1−P([Yn,v≤nx])]dv

≤ M x 4nε². (e) En d´eduire l’in´egalit´e suivante :

Z x

0

ϕ(v)dv− Z 1

0

ϕ(v)P([Yn,v≤nx])dv

≤ 1

4nε² + 2ε

M.

(2) Etablir que, pour toutx∈]0,1[, on a pour tout entiernassez grand l’in´egalit´e :

Z x

0

ϕ(v)dv− Z 1

0

ϕ(v)P([Y_n,v≤nx])dv

≤ 9M 4√³

n. (3) On suppose maintenant que la fonctionϕv´erifie la condition : ∀n∈N,R1

0 ϕ(v)vⁿdv= 0.

(a) Justifier, pour tout polynˆomeP `a coefficients r´eels, l’´egalit´e : R1

0 ϕ(v)P(v)dv= 0.

(b) D´eduire des questions pr´ec´edentes que, pour toutx∈]0,1[, on a : Rx

0 ϕ(v)dv= 0.

(c) Montrer que la fonctionϕest nulle.

Ainsi, on vient de montrer dans cette partie que, siϕest une fonction continue sur [0,1]telle que, pour tout n∈N, on a R1

0 ϕ(v)vⁿdv= 0, alors ϕest nulle.

Dans toute la suite du probl`eme, on consid`ere une suite (X_n)_n≥1 de variables al´eatoires ind´ependantes, positives ou nulles, admettant toutes la mˆeme densit´e (nulle sur ]− ∞,0[), dont on note f la restriction

`

a [0,+∞[. On suppose que la fonction f est continue et strictement positive sur [0,+∞[. On note F la restriction `a [0,+∞[ de la fonction de r´epartition commune `a toutes ces variables al´eatoires. On suppose de plus que X1 (et donc chaqueXi) admet une esp´erance.

Partie II : caract´erisations de la loi exponentielle `a l’aide du minimum d’un n-´echantillon.

Pour toutn∈N^∗, on noteI_n l’application d´efinie pour toutω∈Ω par I_n(ω) = min_1≤i≤nX_i(ω).

(1) Justifier queIn admet une esp´erance pour toutn∈N^∗.

(2) D´eterminer `a l’aide deF la fonction de r´epartition deIn pour toutn∈N^∗.

(3) Dans cette question, on suppose que la loi de X1 (qui est la loi commune `a tous lesXi) est la loi exponentielle de param`etreλ >0.

(a) Montrer que, pour tout n∈N^∗, la variable al´eatoirenIn a mˆeme loi queX1. (b) D´eterminer, pour tout n∈N^∗, l’esp´erance deI_n.

L’objet des questions suivantes est d’´etablir que chacune de ces propri´et´es est caract´eristique de la loi exponentielle.

(4) Dans cette question, on suppose que, pour toutn∈N^∗,nI_n a mˆeme loi queX₁. (a) Etablir, pour tout n∈N^∗ et pour toutx∈R⁺, l’´egalit´e :

F(x) = 1−

1−Fx n

n

.

(b) D´eterminer, pour tout x∈R+, la valeur de : lim_n→+∞nln 1−F ^x_n . (c) Montrer que la loi deX1est exponentielle de param`etreF⁰(0).

(5) On revient au cas g´en´eral.

(a) Montrer que la fonctionF r´ealise une bijection de [0,+∞[ sur [0,1[. On noteF⁻¹sa r´eciproque.

(b) A l’aide d’un changement de variable, ´etablir, pour tout n∈N^∗, l’´egalit´e : E(In) =n

Z 1

0

F⁻¹(u)(1−u)ⁿ⁻¹du.

(c) Etablir, pour toutu∈[0,1[, les in´egalit´es : 0≤(1−u)F⁻¹(u)≤

Z 1

u

F⁻¹(t)dt.

(d) En d´eduire que la fonctionGd´efinie sur [0,1] parG(u) = (1−u)F⁻¹(u) pour toutu∈[0,1[ et parG(1) = 0 est continue.

(e) Etablir, pour tout entier n≥2, les ´egalit´es : E(In) =n

Z 1

0

G(u)(1−u)ⁿ⁻²du et E(In) =n Z 1

0

G(1−v)vⁿ⁻²dv.

(f) On suppose maintenant qu’il existe un r´eel λ >0 tel que : ∀n∈N^∗,E(I_n) =_nλ¹ . On noteF_λ la restriction `a [0,+∞[ de la fonction de r´epartition de la loi exponentielle de param`etreλ, etG_λ la fonction d´efinie sur [0,1] parGλ(u) = (1−u)F_λ⁻¹(u) siu∈[0,1[ et parGλ(1) = 0.

(i) Quelle est la valeur denR1

0 Gλ(1−v)vⁿ⁻²dvpour tout entiern≥2?

(ii) A l’aide du r´esultat de la partieI, montrer queGetGλ sont ´egales.

(iii) En d´eduire que la loi deX1 est exponentielle de param`etreλ.

Partie III : caract´erisation de la loi exponentielle `a l’aide des deux premiers records.

On poseR1=X1. On noteR2 l’application d´efinie pour toutω∈Ω par : R2(ω) =

Xn(ω) sinest le plus petit des entiersktels que Xk(ω)> X1(ω)

X1(ω) si un tel entier n’existe pas .

On admet que R₂ est une variable al´eatoire.

A. Pr´eliminaire

(1) Exprimer l’´ev´enement [R2=R1] `a l’aide de la suite d’´ev´enements ([Xk ≤X1])_k∈N^∗. (2) Etablir, pour toutt∈R+ et pour tout entiern∈N^∗, l’in´egalit´e :

P

n+1

\

k=2

[Xk≤X1]

!

≤(F(t))ⁿ⁺¹+ 1−F(t).

(3) Soitε un r´eel >0. En choisissant un r´eelt de fa¸con convenable et `a l’aide de l’in´egalit´e pr´ec´edente, montrer que, pour tout entiernassez grand, on a :

P

n+1

\

k=2

[X_k≤X₁]

!

≤2ε.

Comment ´enoncer le r´esultat obtenu?

(4) En d´eduire que, presque sˆurement, on a : R2> R1. B. La caract´erisation

Pour tout (x, y)∈(R+)², on pose : ϕ(x, y) =P([R1≤x]∩[R2−R1> y]).

(1) Soit (x, y)∈(R+)² et soithun r´eel>0.

(a) Justifier l’´egalit´e suivante : ϕ(x+h, y)−ϕ(x, y) =

+∞

X

j=1

P [x < X₁≤x+h]∩

j

\

i=2

[X_i≤X₁]

!

∩[X_j+1> y+X₁]

! . (b) En d´eduire les in´egalit´es suivantes :

F(x+h)−F(x)

1−F(x) (1−F(x+y+h))≤ϕ(x+h, y)−ϕ(x, y)≤ F(x+h)−F(x)

1−F(x+h) (1−F(x+y)).

(2) Calculer, pour tout (x, y)∈(R⁺)², la limite de ϕ(x+h,y)−ϕ(x,y)

h quandhtend vers 0⁺et, en admettant que le r´esultat tient encore pour la limite en 0⁻, en d´eduire l’´egalit´e :

∂1(ϕ)(x, y) = f(x)

1−F(x)(1−F(x+y)).

(3) Dans cette question, on suppose que la loi deX1 est exponentielle de param`etreλ >0.

(a) Etablir, pour tout (x, y)∈(R+)², l’´egalit´e : ϕ(x, y) = (1−e^−λx)e^−λy.

(b) En d´eduire la loi deR₂−R₁, puis l’ind´ependance des variables al´eatoiresR₁ etR₂−R₁. (4) R´eciproquement, dans cette question, on suppose que les variables al´eatoires R₁ et R₂−R₁ sont

ind´ependantes et on noteGla fonction de r´epartition deR₂−R₁. (a) Etablir, pour tout (x, y)∈(R+)², l’´egalit´e : ^1−F(x+y)_1−F(x) = 1−G(y).

(b) En d´eduire que les fonctions G et F sont ´egales puis, `a l’aide de la propri´et´e d’absence de m´emoire, montrer que la loi de X₁ est exponentielle.