CPES 2 – Probabilit´es approfondies 2015-2016 Variables al´ eatoires (presque) constantes
Igor Kortchemski – igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr
Soit (Ω,A,P) un espace probabilis´e et soit X : (Ω,A)→(E,E) une variable al´eatoire.
Variable al´eatoire constante. La variable al´eatoireX est dite constante s’il existe a∈E tel que X(ω) =a pour tout ω∈Ω.
Variable al´eatoire constante avec probabilit´e 1. On suppose que {a} ∈ E pour tout a ∈E. Quel sens donner `a l’affirmation la variable al´eatoire X est constante avec probabilit´e 1 ?
(A) Premi`ere possibilit´e : il existe a ∈ E tel que P(X =a) = 1, ou, autrement dit, il existe a∈E tel que
P({ω ∈Ω :X(ω) =a}) = 1.
(B) Deuxi`eme possibilit´e : P(il existe a∈E tel que X =a), qu’on interpr`ete comme P({ω ∈Ω : il existe a(ω)∈E tel que X(ω) =a(ω)}) = 1.
(C) Troisi`eme possibilit´e :P(il existe a∈E tel que X =a), mais qu’on interpr`ete comme P({ω ∈Ω : il existe a(ω)∈E tel que X(ω0) =a(ω) pour tout ω0 ∈Ω}) = 1.
Tout d’abord on remarque que la deuxi`eme possibilit´e n’est pas tr`es int´eressante, car P({ω ∈Ω : il existea(ω)∈E tel que X(ω) = a(ω)}) = 1
est toujours vrai (si ω ∈ Ω, il existe bien a(ω) ∈ E tel que X(ω) = a(ω) : il suffit de prendre a(ω) = X(ω)).
V´erifions maintenant que la troisi`eme possibilit´e signifie en fait que la variable al´eatoire X est constante. Supposons que
P({ω ∈Ω : il existea(ω)∈E tel que X(ω0) =a(ω) pour tout ω0 ∈Ω}) = 1.
L’´ev´enement {ω ∈ Ω : il existea(ω) ∈ E tel que X(ω0) = a(ω) pour tout ω0 ∈ Ω} est donc non vide (car de probabilit´e non nulle), choisissons un ´el´ement ω0 dedans. Alors il existe a(ω0) tel queX(ω0) =a(ω0) pour tout ω0 ∈Ω. On a donc
{ω ∈Ω :X(ω) =a(ω0)}= Ω.
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La variable al´eatoire X est donc constante (et vaut a(ω0)).
Remarque.Le raisonnement pr´ec´edent montre en fait que si
P({ω ∈Ω : il existea(ω)∈E tel que X(ω0) =a(ω) pour tout ω0 ∈Ω})>0, alors
P({ω ∈Ω : il existea(ω)∈E tel que X(ω0) =a(ω) pour tout ω0 ∈Ω}) = 1.
Ainsi, labonned´efinition deVariable al´eatoire constante avec probabilit´e 1est la premi`ere possibilit´e.
Attention, comme vu en cours, une variable al´eatoire constante avec probabilit´e 1 n’est pas forc´ement constante. Par exemple, prenons Ω = {2,3}, A =P(Ω) et P tel que P({2}) = 1,P({3}) = 0, et soitX la variable al´eatoire telle que X(2) = 17 et X(3) = 31.
Alors X n’est pas constante, mais P(X = 17) =P({ω∈Ω :X(ω) = 17}) =P({2}) = 1, donc X est constante avec probabilit´e 1.
Revenons `a l’exercice commenc´e en cours. Soit X une variable al´eatoire discr`ete. On suppose que X est ind´ependante deX. Montrons queX est constante avec probabilit´e 1, c’est-`a-dire qu’il existe a∈E tel que P(X =a) = 1.
Raisonnons par l’absurde en supposant que pour tout a∈E, P(X =a)<1. Il existe donc une valeur a0 ∈E telle que 0<P(X =a0)<1. Mais alors 0<P(X 6=a0)<1, et il existe donc une autre valeur a1 ∈ E (aveca1 6=a0) telle que 0< P(X =a1). En effet, si ce n’´etait pas le cas, on aurait P(X =a1) = 0 pour tout a1 6=a0, ce qui impliquerait P(X 6=a0) = 0 et donc P(X =a0) = 1, absurde. Comme X est ind´ependante de X, on a alors
P(X =a0, X =a1) =P(X =a0)·P(X =a1).
Or a0 6=a1, donc le terme de gauche est nul, alors que celui de droite ne l’est pas, absurde.
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