Exercice 1.On suppose queX est une v.a

UPMC 2009/2010 Licence L3

LM 390 1`ere session

Examen du 8 Juin 2010 Dur´ee 3h

Sans documents ni calculatrice ni portable

Notations : Dans tout l’ ´enonc´e on ´ecrit v.a. pour variable al´eatoire. N est l’ensemble des entiers naturels,R celui des r´eels. L’ abbr´eviation p.s. signifie presque sˆurement.

Question de Cours.

1) a) Donner la d´efinition de la convergence en loi pour une suite de v. a.

b) Enoncer le crit`ere de convergence en loi utilisant les fonctions de r´epartition.

2) Enoncer la loi forte des grands nombres.

Exercice 1.On suppose queX est une v.a. `a valeurs dans R. Pour tout r´eel u tel que E(e^uX)<+∞on note g(u) =E(e^uX).

1) Montrer que g(0) est d´efini et pr´eciser sa valeur.

2) a) Montrer que s’ il existe un r´eel M tel que|X| ≤M p.s., la fonction g est d´efinie et continue sur R.

b) Montrer que si X ≥ 0 p.s., la fonction g est d´efinie, continue et born´ee sur ]− ∞,0[.

3) On suppose que g(u) existe pour tout u ∈]a, b[ avec a < 0 < b. Montrer que E(|X|^k)<+∞ pour toutk ∈N.

4) On suppose maintenant que X = e^Y o`u Y est une v.a. de loi normale centr´ee r´eduite. Montrer que g n’est pas d´efinie sur ]0,+∞[. Indication : montrer que E(e^uX) = +∞ pour tout u >0.

Exercice 2. On note h la fonction h(x) = ¹_π^√_1−x¹ ₂1]−1,1[(x). On rappelle qu’une v.a. `a valeurs dans R suit la loi de Cauchy standard si elle admet la densit´e f(x) = ¹_π1+x¹ 2.

1) Soit θ une v.a. de loi uniforme sur ]0,2π[. Montrer que les v.a. sinθ et cosθ admettent la densit´e h et que tanθ suit la loi de Cauchy standard.

1

2) On suppose queXsuit la loi de Cauchy standard. Montrer que la v.a. ^1−X_1+X²2

admet la densit´e h. Indication : d’apr`es la question pr´ec´edente, X = tanθ avec θ de loi uniforme sur ]0,2π[.

Exercice 3.1) (X_n)n∈N^∗ est une suite de v.a. ind´ependantes de mˆeme loi de Bernoulli : P(X_n= 1) =P(X_n=−1) = ¹₂.

1) a) Pour u r´eel, calculerϕ(u) = E(e^uXn).

b) Montrer que ϕ(u)≤e^u

2

2 pour tout r´eel u.

2) On d´efinit S_n= Σⁿ_i=1X_i. Montrer que pour tout a >0 et n∈N^∗, P(S_n>

a)≤e^−a

2

2n. Indication : pour toutu >0, les ´ev´enements {S_n > a}et{e^uSn >

e^ua} sont ´egaux.

3) a) Montrer que, pour tout n, les v.a. Sn et−Sn ont la mˆeme loi.

b) En d´eduire que P(|Sn|> a)≤2e^−a

2 2n.

4) Dans cette question c > 1. On consid`ere l’ ´ev´enement A_n = {|S_n| >

c√

2nlogn}. Montrer que P(lim supA_n) = 0.

5) Montrer que p.s. lim sup^√_n^|S_log^n|_n ≤√ 2.

6) Que peut-on dire si |c| ≤1 ?

Exercice 4. Dans cet exercice (X_n)n≥1 est une suite de v.a. ind´ependantes et de mˆeme loi poss´edant la densit´e f telle que R

R|x|f(x)dx < +∞ et R

Rxf(x)dx= 0. On pose S_n= Σⁿ_k=1X_k. Dans cet exercice :

- on ne suppose pas que les v.a. X_n sont de carr´e int´egrable. Au contraire c’est ce que l’on souhaite d´emontrer.

- on suppose que les v.a. X_n et −X_n ont la mˆeme loi.

1) On note φ la fonction caract´eristique de X₁. a) Montrer que φ est `a valeurs r´eelles.

b) Montrer que pour n assez grand φ(^√1_n)>0.

2) Montrer que lim_u→0 ^1−φ(u)_u2 = ¹₂R

Rx²f(x)dx. Indication : on pourra utiliser sans le red´emontrer que limu→0 1−cos(ux)

u² = ^x₂² pour tout r´eel x et que 0 ≤

1−cos(ux) u² ≤ ^x₂².

3) On suppose que la suite de v.a. (^√1_nSn) converge en loi vers une v. a. de loi normale centr´ee r´eduite lorsque n→+∞.

a) Montrer que φ(^√1_n)−1∼ −_2n¹ en +∞.

b) D´eduire des questions pr´ec´edentes que E(X₁²) = 1.

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