Soit U une variable aléatoire positive de fonction de répartitionF, indépendante deF∞

(1)

3. Résoudre (rapidement, inutile de donner les démonstrations) les trois équations suivantes, avec les conditions initialesX0= 1

dXt=σdWt, dXt

Xt

=σdWt, d(lnXt) =σdWt

4. Soit (λt, t ≥ 0) un processus positif F^W-adapt´e et Λt =R_t

0λsds. Soit U une variable aléatoire positive de fonction de répartitionF, indépendante deF_∞. On définitτ parτ= inf{t : Λ_t≥U}.

ExprimerP(τ ≤s|Ft) pours < ten fonction deF et de Λ.

***********************************

5. Soit

dSt = St(−Ytdt+σdWt), S0=x (1) dYt = b(Yt)dt+g(Yt)dBt, Y0=y (2) oùB et W sont deux mouvements Browniens de corrélationρ. On noteFla filtration engendrée par le coupleW, Bet parF^B celle engendrée parB. On suppose que (2) a une solution. On pose Ybt=R_t

0Ysds.

(a) Montrer que (StexpYbt, t≥0) est une martingale. Calculer explicitement cette martingale.

Ecrire la solution de (1) en fonction deYb et de W. (b) SoitQd´efinie pardQ|Ft =LtdP|Ft avec

dLt=σLtdWt, L0= 1

ExpliciterLT en fonction deWT. Justifier queQest une mesure de probabilité. En utilisant les résultats de la question précédente, exprimer ST en fonction de LT et de YbT. Montrer que E(ST|Ft) s’écrit comme StEQ(exp−R_T

t Ysds|Ft). Préciser la dynamique de S et celle Y sousQ, dans le cas oùB etW sont indépendants, puis dans le cas général.

(c) Justifier qu’il existe une fonction ϕ telle que E(expR_T

t Ysds|F_t^B) = ϕ(t, Yt). Montrer que exp(Ybt)ϕ(t, Yt) est uneP-martingale. On admettra que ϕest régulière (soitC^1,2). Quelle est l’EDP vérifiée par ϕ?

(d) On se place dans le cas b(y) = b et g(y) = ν o`u b et ν sont des constantes. Donner les dynamiques de Y⁻¹ et de Zt=e^Y^tR_t

0e^−Y^sds. Justifier que Z est markovien. Montrer, par un calcul direct queE(Zt|F_s^B) =f(t, s)Zs+g(t, s) o`uf etgsont des fonctions d´eterministes que l’on explicitera comme des esp´erances.

(e) R´esoudre l’´equation

dSt=St(−Ytdt+σ(t)dWt), S0=x

oùσest une fonction déterministe. Montrer queE(ST|Ft) s’écrit commeStE_Q_b(exp−R_T

t Ysds|Ft) pour une probabilit´eQbque l’on pr´ecisera.

1

(2)

6. SoitdXt= (a+bXt)dt+√

σ+θXtdWt. On admet que les coefficientsa, b, σ, θsont tels que cette

´equation a une solution.

(a) CalculerE(Xt). On admettra que les martingales locales qui apparaˆıtront dans le calcul sont des martingales.

(b) Ecrire l’EDS v´erifi´ee par le processus (X_tⁿ, t≥0) pournentier.

(c) Calculer E(X_t²). On admettra que les martingales locales qui apparaˆıtront dans le calcul sont des martingales.

(d) Justifier que, pourt < T et λréel,E(e⁻^λ²²^X^T|F_t^W) =ψ(t, Xt) pour une fonctionψ que l’on supposera de classeC^1,2. Montrer que le calcul deE(e⁻^λ²²^X^T) peut se ramener à la recherche de la solution d’une EDP dont on précisera les conditions au bord. On ne demande pas la résolution de l’EDP.

(e) Montrer que le calcul deE(exp(−^λ₂²X_T −µR_T

0 X_sds)) peut se ramener `a la recherche de la solution d’une EDP dont on pr´ecisera les conditions au bord.

7. Soitλt=W_t² et Λt=R_t

0λsds. SoitU une variable aléatoire de loi exponentielle de paramêtreθ (soitP(U > u) =θe^−θu), indépendante deF∞. On définitτ parτ = inf{t : Λt≥U}. On note Φ(λ, µ) la transformée de Laplace du coupleW_T,R_T

0 W_s²dspour un MB issu de 0 et Φ(x;λ, µ) la transform´ee de Laplace du coupleWT,R_T

0 W_s²dspour un MB partant de x. (La TL d’un couple (X, Y) estE(exp(λX+µY)) On noteGla filtrationF^W ∨H(notations du cours).

(a) ExprimerP(τ ≤s|Ft) pours < ten fonction de Λ.

(b) ExprimerE(f(WT)11T <τ|Gt) en terme de Λ.

(c) Montrer que l on peut calculerE(e^W^T11T <τ) etE(e^W^T11T <τ|Gt) en fonction de Φ.

(3)

3. Résoudre (rapidement, inutile de donner les démonstrations) les trois équations suivantes, avec les conditions initialesX0= 1

dXt=λdBt, dXt

Xt =λdBt, d(lnXt) =λdBt

4. Soit (γt, t ≥ 0) un processus positif F^B adapt´e et Γt = R_t

0γsds. Soit Θ une variable aléatoire positive de loi de fonction de survie G(x) =P(Θ > x), indépendante de F∞. On définitτ par τ= inf{t : Γt≥Θ}. ExprimerP(τ ≤s|Ft) pours < ten fonction de Γ.

***********************************

5. Soit

dSt = St(−Ytdt+σdWt), S0=x (3) dYt = b(Yt)dt+g(Yt)dBt, Y0=y (4) oùB et W sont deux mouvements Browniens de corrélationρ. On noteFla filtration engendrée par le coupleW, Bet parF^B celle engendrée parB. On suppose que (4) a une solution. On pose Ybt=R_t

0Ysds.

(a) Montrer que (StexpYbt, t≥0) est une martingale. Calculer explicitement cette martingale.

Ecrire la solution de (3) en fonction deYb et de W. (b) SoitQd´efinie pardQ|Ft =LtdP|Ft avec

dLt=σLtdWt, L0= 1

ExpliciterLT en fonction deWT. Justifier queQest une mesure de probabilité. En utilisant les résultats de la question précédente, exprimer ST en fonction de LT et de YbT. Montrer que E(ST|Ft) s’écrit comme StEQ(exp−R_T

t Ysds|Ft). Préciser la dynamique de S et celle Y sousQ, dans le cas oùB etW sont indépendants, puis dans le cas général.

(d) On se place dans le cas b(y) = b et g(y) = ν o`u b et ν sont des constantes. Donner les dynamiques de Y⁻¹ et de Zt=e^Y^tR_t

0e^−Y^sds. Justifier que Z est markovien. Montrer, par un calcul direct queE(Zt|F_s^B) =f(t, s)Zs+g(t, s) o`uf etgsont des fonctions d´eterministes que l’on explicitera comme des esp´erances.

(e) R´esoudre l’´equation

dSt=St(−Ytdt+σ(t)dWt), S0=x

oùσest une fonction déterministe. Montrer queE(ST|Ft) s’écrit commeStE_Q_b(exp−R_T

t Ysds|Ft) pour une probabilit´eQbque l’on pr´ecisera.

3

(4)

(b) Ecrire l’EDS v´erifi´ee par le processus (X_tⁿ, t≥0) pournentier.

(c) Calculer E(X_t²). On admettra que les martingales locales qui apparaˆıtront dans le calcul sont des martingales.

(d) Justifier que, pourt < T et λréel,E(e⁻^λ²²^X^T|F_t^W) =ψ(t, Xt) pour une fonctionψ que l’on supposera de classeC^1,2. Montrer que le calcul deE(e⁻^λ²²^X^T) peut se ramener à la recherche de la solution d’une EDP dont on précisera les conditions au bord. On ne demande pas la résolution de l’EDP.

(e) Montrer que le calcul deE(exp(−^λ₂²X_T −µR_T

0 X_sds)) peut se ramener `a la recherche de la solution d’une EDP dont on pr´ecisera les conditions au bord.

7. Soitλt=B²_t et Λt=R_t

0λsds. Soit U une variable aléatoire de loi exponentielle de paramêtreθ (soitP(U > u) =θe^−θu), indépendante deF∞. On définitτ parτ = inf{t : Λt≥U}. On note Φ(λ, µ) la transformée de Laplace du coupleB_T,R_T

0 B_s²ds pour un MB issu de 0 et Φ(x;λ, µ) la transform´ee de Laplace du coupleBT,R_T

0 B_s²ds pour un MB partant dex. (La TL d’un couple (X, Y) estE(exp(λX+µY)) On noteGla filtrationF^B∨H(notations du cours).

(a) ExprimerP(τ ≤s|Ft) pours < ten fonction de Λ.

(b) ExprimerE(f(BT)11T <τ|Gt) en terme de Λ.

(c) Montrer que l on peut calculerE(e^B^T11T <τ) etE(e^B^T11T <τ|Gt) en fonction de Φ.

(5)

3. Résoudre (rapidement, inutile de donner les démonstrations) l’équation suivante : dXt

Xt =√

2dWt, X0= 2

**************************

4. SoitZ défini par dZt=h(Zt)dt+dWtetYt=e^2Z^t. Montrer quedYt=f(Yt)dt+g(Yt)dWtoù f etg sont des fonctions que l’on déterminera.

5. Soit

dSt = St(−Ytdt+σdWt), S0=x (5) dYt = b(Yt)dt+g(Yt)dBt, Y0=y (6) où B et W sont deux mouvements Browniens indépendants. On noteF la filtration engendrée par le coupleW, Bet parF^B celle engendrée parB. On suppose que (6) a une solution. On pose Ybt=R_t

0Ysds.

(a) Montrer que (StexpYbt, t≥0) est une martingale. Exprimer cette martingale en fonction de W. Ecrire la solution de (5) en fonction deYb et de W..

(b) SoitQd´efinie pardQ|Ft =LtdP|Ft avec

dLt=σLtdWt, L0= 1

ExpliciterLT en fonction deWT. Justifier queQest une mesure de probabilité. En utilisant les résultats de la question précédente, exprimerST en fonction deLT et deYbT. Préciser la dynamique de S et celleY sousQ.

(b) Ecrire l’EDS v´erifi´ee parX_t²et calculerE(X_t²). On admettra que les martingales locales qui apparaˆıtront dans le calcul sont des martingales.

(c) Justifier que E(e⁻^λ²²^X^T|F_t^W) = ψ(t, Xt) pour une fonction ψ que l’on supposera de classe C^1,2. Montrer que le calcul deE(e⁻^λ²²^X^T) peut se ramener à la recherche de la solution d’une EDP dont on précisera les conditions au bord. On ne demande pas la résolution de l’EDP.

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