Corrig´e LM346, 2-i`eme session - 2009/2010.
Exercice I.
1.
(1) 1 =cα,β
Z 1 0
xα−1dx+cα,β Z ∞
1
exp (−βx)dx=cα,β xα
α |10−exp (−βx) β |∞1
=cα,β
1
α+exp (−β) β
=⇒cα,β = αβ β+αexp(−β). (2) Pour 0≤t≤1
F(t) =cα,β
Z t 0
xα−1dx= tα αcα,β
et pourt >1
F(t) =cα,β
Z t 0
g(x)dx=cα,β
1 α+
Z t 1
exp(−βx)dx
= 1− αexp(−βt) β+αexp(−β). Pour la fonction de r´epartition inverse nous obtenons
F−1(u) =
h α
cα,βui1/α
, 0≤u < cα,βα
−β1lnh β
cα,β(1−u)i
, cα,βα ≤u≤1.
Si une v.a. U suit la lois uniforme sur [0,1] alors la v.a. F−1(U) admetF pour sa fonction de r´epartition.
(3) Il est facile `a v´erifier qu’il suffit de choisir c >max
1, βα Γ(α)cα,β
.
(4) Th´eor`eme 2.2.3, page 21 du polycopi´e.
2.
(1) Pourn= 1 P
−1
βlnU < x
=P(U >exp (−βx)) = 1−exp (−βx), fY(x) =βexp (−βx)1{x≥0}=F1,β(x).
Pour n = 2 on a Y =Z1+Z2 o`u Zi =−β1lnUi, i= 1,2. Z1 et Z2 sont ind´ependantes et la densit´efY(x) est une convolution de densit´es des v.a. Z1
etZ2
fY(x) =β2 Z
exp (−β(x−y)) exp (−βy)1{x−y≥0}1{y≥0}dy
1
β2xexp (−βx)1{x≥0}=F2,β(x).
Le raisonnement par r´ecurrence montre que pour toutnla v.a. Y suit une lois Fn,β(x).
(2) On peut utiliser une d´ecompositionα= [α] +α0,o`uα0=α−[α]<1 et [α] =n . Soient U0, U1, ..., Un une suite des v.a. ind´ependantes uniformement distribu´ees sur [0,1]. Avecα0 et U0 on simuleX1 de loi Fα0,β(x) d’une fa¸con d´ecrite dans1et avec la suiteU1, ..., Un on simuleX2de loiFn,β(x) d’une fa¸con d´ecrite dans dans2(1). Il reste `a calculer X1+X2.
Exercice II.
(1)
P=
0 14 12 14 0 14 12 14
1 4
1 2
1
4 0
1 4
1 2
1
4 0
(2) La chaˆıne est irr´eductible et ap´eriodique.
(3) La loi invariante est ´egal `a π= (18,38,38,18).
(4) Consid´eronsf =1{−1,1,2}.D’apr`es le THM ergodique 1
n(f(X0) +f(X1) +...+f(Xn))→Eπf = 0×1
8 + 1×(3 8 +3
8 +1 8) =7
8 lorsquen→ ∞.
2
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)