Partie A : Image par D d’une fonction de r´ epartition

2ECS CONCOURS BLANC : MATH ´EMATIQUES GROUPE A

L’´epreuve est compos´ee de deux probl`emes ind´ependants

PROBL `EME 1

Dans tout le probl`eme, on d´esigne parC l’espace vectoriel des applications continues deRdansR. A toute application` f deC, on associe l’applicationD(f) deRdansRd´efinie par:

∀x∈R, D(f)(x) =f(x+ 1)−f(x) Les parties A,BetC sont ind´ependantes.

Question pr´eliminaire: D est-il un endomorphisme deC?

Partie A : Image par D d’une fonction de r´ epartition

1. SoitF une application deC. Rappeler les propri´et´es que doit poss´ederF pour ˆetre consid´er´ee comme une fonction de r´epartition.

2. SoitF une application deC qui est une fonction de r´epartition et gl’applicationD(F).

a) Montrer queg est positive.

b) Prouver, pour tout r´eelx, la double in´egalit´e: F(x)6 Z x+1

x

F(t) dt6F(x+ 1).

En d´eduire que les limites lim

x→−∞

Z x+1

x

F(t) dt et lim

x→+∞

Z x+1

x

F(t) dt existent et pr´eciser leurs valeurs.

c) SoitAet B deux r´eels v´erifiantA <0< B etI(A, B) l’int´egrale: I(A, B) = Z B

A

g(t) dt.

Justifier l’´egalit´e: I(A, B) = Z B+1

B

F(t) dt− Z A+1

A

F(t) dt. d) Prouver alors soigneusement queg est une densit´e de probabilit´e.

3. Un exemple

a) On suppose, dans cette question, queF est la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0,1] et on pose: g=D(F).

D´eterminerg(x) pour tout r´eelx, en distinguant les casx <−1, −16x <0, 06x <1 et 16x.

Repr´esenter graphiquement l’applicationg.

b) SoitX et Y deux variables ind´ependantes d´efinies sur le mˆeme espace probabilis´e (Ω,A, P) suivant chacune la loi uniforme sur l’intervalle [0,1]. D´eterminer une fonction de densit´e deX −Y. Que remarquez-vous ?

Partie B : Recherche des valeurs propres de D

Si λ est un r´eel, on dit que λ est une valeur propre de D s’il existe une application f de C, distincte de l’application nulle, v´erifiant: D(f) =λ f.

1. Soitaun r´eel. On notega l’application de Cd´efinie par: ∀x∈R, ga(x) =e^ax. D´eterminer l’applicationD(ga).

2. En d´eduire que tout r´eel λstrictement sup´erieur `a−1 est une valeur propre deD.

3. Soitaun r´eel. On noteha l’application deC d´efinie par: ∀x∈R, ha(x) = sin(πx)e^ax. D´eterminer l’applicationD(ha).

4. En d´eduire que tout r´eel λstrictement inf´erieur `a −1 est une valeur propre deD.

5. Le r´eel −1 est-il une valeur propre deD?

1

Partie C : Image par D d’une application polynomiale

Pour tout entier naturel p, on d´esigne par E_p le sous-espace de C dont les ´el´ements sont les applications polynomiales de degr´e au plusp.

On noteX l’applicationx7→xet, pour tout entier naturel non nulk, on noteX^k l’applicationx7→x^k. Soit (H_i)_i∈Nla suite d’applications polynomiales d´efinie par:

H0= 1 et ∀i∈N^∗, Hi= 1 i!

i−1

Y

k=0

(X−k) 1. Pr´eciserH1, H2, H3et montrer que U3= (H0, H1, H2, H3) est une base deE3. 2. SoitB3= (1, X, X², X³) la base canonique deE3.

a) ´Ecrire la matrice de passageP de la baseB3`a la base U3 et calculer la matriceP⁻¹. b) Soit a0, a1, a2, a3des r´eels etQl’application polynomiale a0+a1X+a2X²+a3X³.

Quelles sont les coordonn´ees deQdans la baseU3 ? En particulier, v´erifier l’´egalit´e: X³=H1+ 6H2+ 6H3.

3. Application: moment d’ordre 3 d’une variable al´eatoire de Poisson

Soitaun r´eel strictement positif etZ une variable al´eatoire suivant la loi de Poisson de param`etrea.

a) Pour tout entier naturelnsup´erieur ou ´egal `a 3, on pose: Sn =

n

X

k=0

k³a^k k! . TransformerSn `a l’aide de la relation: ∀k∈N, k³=H1(k) + 6H2(k) + 6H3(k).

En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral n³aⁿ

n! est convergente et pr´eciser

∞

X

n=0

n³aⁿ n! · b) En d´eduire que la variable al´eatoireZ admet un moment d’ordre 3 donn´e par:

E(Z³) =a+ 3a²+a³ 4. Dans cette question, pest un entier naturel non nul fix´e.

a) Montrer que, siQappartient `a Ep, D(Q) appartient aussi `a Ep.

On note alorsDp l’endomorphisme deEp qui, `a toutQdeEp, associeD(Q).

b) Montrer que la famille Up= (H0, H1, . . . , Hp) est une base deEp.

c) D´eterminerDp(H0),Dp(H1) et prouver, pour tout entieri v´erifiant 0< i6p, l’´egalit´e : Dp(Hi) =H_i−1.

d) ´Ecrire la matriceMp repr´esentative de Dp dans la baseUp.

e) Pr´eciser la ou les valeurs propres de Mp. Cette matrice est-elle diagonalisable?

5. Application: moment d’ordrepd’une variable al´eatoire de Poisson Soitpun entier naturel non nul fix´e etb₀, b₁, . . . , b_p les r´eels v´erifiant

X^p=b₀H₀+b₁H₁+· · ·+b_pH_p

Par une m´ethode analogue `a celle de la question 3., montrer que la variable al´eatoire Z d´efinie dans la question 3. admet un moment d’ordrepdonn´e par E(Z^p) =

p

X

i=0

biaⁱ i! ·

6. Dans cette question,pest un entier naturel non nul et, pour tout entieriv´erifiant 06i6p, on consid`ere l’applicationϕi deEp dansRqui, `a tout ´el´ement QdeEp, associe le r´eel :

ϕi(Q) =

i

X

k=0

(−1)^i−k i

k

Q(k)

a) Montrer que, pour tout entieriv´erifiant 06i6p, l’applicationϕi est lin´eaire.

2

b) Soitiet j deux entiers v´erifiant 06i6pet 06j 6p; ´etablir les ´egalit´es:

ϕi(Hi) = 1 et si j6=i, ϕi(Hj) = 0 (indication: lorsquei6=j on distinguera 2 cas: i < j et j < i)

c) En d´eduire, pour tout entieriv´erifiant 06i6p, la relation: bi =

i

X

k=0

(−1)^i−k i

k

k^p.

PROBL `EME 2

• Toutes les variables al´eatoires consid´er´ees dans ce probl`eme sont suppos´ees d´efinies sur le mˆeme espace probabilis´e Ω,A, P

.

• Sous r´eserve d’existence, on note E(Z) l’esp´erance d’une variable al´eatoireZ.

• Pour tout entierN sup´erieur ou ´egal `a 1, on noteEN l’ensemble des applications de [[1, N]] dans [[1, N]].

Pr´eliminaire

1. SoitN un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.

a) Quel est le nombre d’´el´ements de l’ensembleEN?

b) Parmi les ´el´ements de EN, quel est le nombre d’applications injectives et parmi celles-ci, combien sont strictement monotones?

(les r´eponses aux questions 1.a) et 1.b) seront donn´ees sans d´emonstration) 2. Soitpun r´eel strictement positif.

On consid`ere une variable al´eatoireX suivant la loi exponentielle de param`etre 1.

Pour toutω∈Ω, on pose: Y(ω) =bp X(ω)c, o`ub cd´esigne la fonction partie enti`ere.

a) V´erifier queY est une variable al´eatoire discr`ete. Calculer pour toutn∈N, la probabilit´eP [Y =n]

. b) Montrer que la variable al´eatoireY + 1 suit une loi g´eom´etrique dont on pr´ecisera le param`etre.

c) ´Etablir les in´egalit´es strictes: 0< E(Y)< p.

3.a) Pour tout couple (r, s)∈N², montrer que l’int´egrale Z 1

0

x^r(lnx)^sdxest convergente.

(on pourra utiliser le changement de variableu=−lnxapr`es avoir justifi´e pr´ecis´ement sa validit´e) b) ´Etablir pour tout couple (r, s)∈N², l’´egalit´e:

Z 1

0

x^r(lnx)^sdx= (−1)^ss!

(r+ 1)^s+1.

Partie I. Transport dans une situation al´eatoire

On dit que la loi d’une variable al´eatoireY estaccessibledepuis une variable al´eatoireX, s’il existe une applicationT :X(Ω)−→Rtelle que la variable al´eatoireT(X) suit la mˆeme loi que Y.

L’applicationT est alors appel´ee unefonction de transportde la variable al´eatoireX vers la loi deY. On associe `aT uncoˆut de transportC(T) d´efini, sous r´eserve d’existence, par: C(T) =E

X−T(X)² . Dans toute cette partie,X d´esigne une variable al´eatoire v´erifiantX(Ω) = ]0,1[ et suivant la loi uniforme sur ]0,1[, c’est-`a-dire admettant pour densit´e la fonctionfX d´efinie par: fX(x) =

1 si x∈]0,1[

0 sinon

4. Soit pun r´eel v´erifiant 0< p <1. Pour tout r´eel a∈[0,1−p], on note dans cette question, T_a la fonction d´efinie sur ]0,1[ par: T_a(x) =

1 si x∈]a, a+p[

0 sinon a) Calculer la probabilit´eP [T_a(X) = 1]

et en d´eduire que les fonctionsT_a sont des fonctions de transport 3

deX vers une mˆeme loi que l’on pr´ecisera.

b) V´erifier que le coˆut de transportC(Ta) est ´egal `a 1

3 +p(1−p)−2ap.

c) En d´eduire la valeur deaqui minimiseC(Ta) et exprimer le coˆut minimal correspondant en fonction dep.

5. SoitT1 etT2les applications d´efinies sur ]0,1[ parT1(x) =−lnxetT2(x) =−ln(1−x).

a) V´erifier queT1et T2 sont des fonctions de transport de X vers une loi que l’on pr´ecisera.

b) En utilisant les r´esultats de la question 3, comparer les coˆuts de transportC(T1) etC(T2).

c) `A l’aide de la question 2, montrer que toutes les lois g´eom´etriques sont accessibles depuisX. d)En utilisant la question pr´ec´edente, ´ecrire en scilab une fonction d’entˆete function Y=geom(a) permettant de simuler la loi g´eom`etrique de param`etrea(a∈]0,1[).

On utilisera la commandex=rand( )qui g´en`ere un nombre pris au hasard dans [0,1]

6. Dans cette question, Y d´esigne une variable al´eatoire admettant une densit´ef_Y continue et strictement positive surR.

a) Justifier que la fonction de r´epartitionFY deY r´ealise une bijection deRsur l’intervalle ouvert ]0,1[.

b) On noteF_Y⁻¹ la bijection r´eciproque deFY.

Montrer queF_Y⁻¹ est une fonction de transport de la variable al´eatoireX vers la loi deY. 7. Cas particulier: on suppose que Y suit la loi normale centr´ee r´eduite.

On noteFY la fonction de r´epartition deY et ϕla densit´e continue surRdeY. a) ´Etablir la convergence de l’int´egrale

Z +∞

−∞

y F_Y(y)ϕ(y) dy.

A l’aide d’une int´` egration par parties, montrer que Z +∞

−∞

y FY(y)ϕ(y) dy= 1 2√

π. b) Montrer que l’int´egrale

Z +∞

−∞

y−F_Y(y)²

ϕ(y) dy est convergente et la calculer.

c) En d´eduire que le coˆut de transportC(F_Y⁻¹) est ´egal `a 4 3 − 1

√π. Partie II. Transport optimal dans une situation d´eterministe Dans toute cette partie,N d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.

On consid`ereN r´eelsd1, d2, . . . , dN (appel´es points de d´epart) etNr´eelsa1, a2, . . . , aN (appel´es points d’arriv´ee) v´erifiantd1< d2<· · ·< dN et a1< a2<· · ·< aN.

On pose: D={d1, d2, . . . , dN}et A={a1, a2, . . . , aN}.

8. Soitt∈ EN. On r´eordonne la liste t(1), t(2), . . . , t(N)

selon les valeurs croissantes et on note alors bt(1),bt(2), . . . ,bt(N)

la liste ordonn´ee obtenue. On a donc: bt(1)6bt(2)6· · ·6bt(N).

a) Justifier pour toutn∈[[1, N]], l’in´egalit´e:

N

X

k=n

a_t(k)6

N

X

k=n

abt(k). b) On posed₀= 0. Justifier l’´egalit´e:

N

X

n=1

d_na_t(n)=

N

X

n=1

(d_n−d_n−1)

N

X

k=n

a_t(k)

.

c) ´Etablir l’in´egalit´e:

N

X

n=1

dna_t(n)6

N

X

n=1

dna

bt(n).

On appelleprogramme de transport, toute bijectionT deDsurA, etcoˆutd’un programme de transportT, la sommec(T) d´efinie par: c(T) =

N

X

k=1

d_k−T(d_k)² .

9. SoitTble programme de transport d´efini par: pour toutk∈[[1, N]], T(db k) =ak.

D´eduire des questions pr´ec´edentes que le programmeTbest optimal, c’est-`a-dire que pour tout programme de transportT, on a: c(T)>c(Tb).

4