Examen LM346 ”Processus et simulations”, 1`ere session 2013–2014, sans document, ni calculatrice.
1. Partie 1. Rappel : Une variable al´eatoire est de loi uniforme sur[a, b], si sa densit´e est d´efinie comme f(x) = (1/(b−a))1[a,b](x).
Soit fX(x) = C cos(πx/2)1[0,1](x) la densit´e de la variable al´eatoire X. Donner la constanteC.
2. Calculer la fonction de r´epartition de X
3. Proposer une m´ethode de simulation d’une variable al´eatoire de mˆeme loi que X.
4. Proposer une m´ethode approch´ee pour calculer l’int´egrale R1 0
√1 +xcos(πx/2)dx.
5. Soit (U, V) un couple de variables al´eatoires ind´ependantes, U de loi uniforme sur [0,1], V de loi uniforme sur [0, π/2]. Calculer
PV <(π/2) cos(πU/2).
6. Soit (U1, V1), (U2, V2), . . . , (UN, VN), . . . une suite de vecteurs al´eatoires ind´ependants de mˆeme loi que dans l’exercice pr´ec´edent. Soit ν = min{n≥1 :Vn<(π/2) cos(πUn/2)}. DonnerP(ν =k) pour k= 1,2,3. . ..
7. Donner la densit´e de la variable al´eatoire Uν.
8. Comparer les probabilit´esP(Uν <1/π) et P((2/π)arcsinU1 <1/π). (”Comparer” veut dire ´ecrire un des signes : >, <, ≥,≤ ou = et expliquer la r´eponse. On ne demande pas de les calculer !).
9. Partie 2. Dans un sondage, les clients expriment leur satisfaction d’un service par un nombre entier compris dans un intervale [−2,2]. On suppose que les avis des clients sont des variables al´eatoires ind´ependantesX1, X2, . . . de mˆeme loi `a valeurs dans{−2,−1,0,1,2} etd’esp´erance 0. Prouver que
P|X1+· · ·+XN|
pNvar(X1) > t≤ 1
t2. (1)
10. On fait un sondage de 1000 clients : 203 d’eux donnent la note pour le service (−2), 198 donnent la note (−1), 201 – la note 0, 197 – la note (+1), 201 – la note (+2). A partir de ces donn´ees statistiques et de l’in´egalit´e (1) ci-dessus, construire un intervale de confiance pour la variance deX1 de niveau de fiabilit´e 0.9.
11. Donner la limite de la partie gauche dans l’in´egalit´e (1), c’´est-`a-dire de P|X√1+···+XN|
Nvar(X1) > t quand N → ∞. Ensuite, pour les donn´ees statistiques des deux questions pr´ec´edentes, construire un autre intervale de confiance pour la variance de X1 de niveau de fiabilit´e 0.9 – celui assymptotique – `a partir du Th´eor`eme de la limite centrale. (L’un de ces r´esultats vous sera utile : on note φ(t) = Rt
−∞(1/√
2π) exp(−x2/2)dx, on a φ(1.65) = 0.95, φ(1.28) = 0.9, φ(−1.28) = 0.1) TOURNEZ LA PAGE SVP
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12. Partie 3. On consid`ere une chaˆıne de Markov (Xn)n≥0 de matrice de transition
1/2 0 0 0 0 0 1/2
0 1/5 0 0 0 4/5 0
0 0 2/5 0 3/5 0 0
1/7 2/7 1/7 1/7 1/7 1/7 0
0 0 1/2 0 1/2 0 0
0 3/4 0 0 0 1/4 0
1/4 0 0 0 0 0 3/4
Donner les classes d’´etats qui communiquent, indiquer si elles sont r´ecurrentes ou transientes.
13. Soit R4n=P∞k=n14(Xk) le nombre de visites dans l’´etat 4 apr`es l’instantn. SoitX0= 4. Que pouvez vous dire du comportement asymptotique de la suite de variables al´eatoires (R4n)n≥0 quandn→ ∞ ? 14. Calculer P(X4 = 7|X0= 1).
15. Donner toutes les mesures invariantes de cette chaˆıne de Markov.
16. Soit λ= (1/6,5/31,5/66,0,1/11,16/93,1/3) une mesure initiale de cette chaine de Markov. Donner dans ce cas Pλ(X5 = 7).
17. Donner limn→∞P(Xn=i|X0 = 1) pouri= 1,2,3,4,5,6,7. Argumenter votre r´eponse.
18. Soit X0 = 1. Sous cette hypoth`ese donner la limite de la suite n−1Pnk=11i(Xk) quand n→ ∞ pour i= 1,2,3,4,5,6,7. Pr´eciser le sens de la limite (en loi ? p.s. ? en probabilit´e ? ...)
• D´eduire la limite de la suite n−1Pnk=1Xk
19. Soit Ti= inf{n >0 :Xn=i}. CalculerP(Ti <∞ |X0= 4) pouri= 1,2,3,4,5,6,7.
20. Donner limn→∞P(Xn=i|X0 = 4) pouri= 1,2,3,4,5,6,7.
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